Question

Два мопеда выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми составляет 300 км. Если бы первый мопед выехал на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выезда второго. Если же второй мопед выехал бы на 2 ч раньше первого, то встреча произошла бы через 3 ч после выхода первого. С какой скоростью двигался каждый мопед?

Answer 1

Пусть x километров в час – скорость первого мопеда, а y километров в час – скорость второго мопеда. Если первый выехал на 2 ч раньше второго, то согласно условию задачи первый мопед будет ехать до встречи 4,5 ч, тогда как второй – 2,5 ч. За 4,5 ч первый проедет путь 4,5x километров, а за 2,5 ч второй проедет путь 2,5y километров. Отсюда 4,5x + 2,5y = 300 – первое уравнение.

Если второй выедет на 2 ч раньше первого, то согласно условию он будет ехать 5 ч, тогда как первый – 3 ч. Придём ко второму уравнению 3x + 5y = 300.

В итоге получаем систему уравнений:

{4,5x+2,5y=300

{3x+5y=300

Откуда получаем: x = 50, y = 30

Answer 2

Пусть скорость первого мопеда будет $v_1$, а скорость второго мопеда будет $v_2$.

Из информации, что расстояние между мопедами составляет 300 км, можно записать следующее уравнение:

$$v_1 \cdot t + v_2 \cdot t = 300,$$

где $t$ - время, за которое мопеды встретятся, двигаясь друг навстречу другу.

Известно, что если первый мопед выехал бы на 2 часа раньше, то встреча произошла бы через 2,5 часа после выезда второго. Это можно записать как:

$$v_1 \cdot (t - 2.5) + v_2 \cdot t = 300.$$

Также известно, что если второй мопед выехал бы на 2 часа раньше, то встреча произошла бы через 3 часа после выезда первого:

$$v_1 \cdot t + v_2 \cdot (t - 3) = 300.$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{align*} v_1 \cdot t + v_2 \cdot t &= 300, \\ v_1 \cdot (t - 2.5) + v_2 \cdot t &= 300, \\ v_1 \cdot t + v_2 \cdot (t - 3) &= 300. \end{align*}$$

Решим эту систему уравнений. Сначала выразим $v_1 \cdot t$ из первого уравнения:

$$v_1 \cdot t = 300 - v_2 \cdot t.$$

Подставим это выражение во второе и третье уравнения:

$$(300 - v_2 \cdot t) + v_2 \cdot t = 300 \quad \Rightarrow \quad v_2 \cdot t = 0,$$

$$v_1 \cdot (t - 2.5) + v_2 \cdot t = 300 \quad \Rightarrow \quad v_1 \cdot (t - 2.5) = 300,$$

$$v_1 \cdot t + v_2 \cdot (t - 3) = 300 \quad \Rightarrow \quad (300 - v_2 \cdot t) + v_2 \cdot (t - 3) = 300 \quad \Rightarrow \quad v_2 \cdot (t - 3) = 0.$$

Из первого и третьего уравнений видно, что $v_2 \cdot t = 0$ и $v_2 \cdot (t - 3) = 0$, что означает, что $v_2 = 0$ (так как время $t$ не может быть равно нулю).

Теперь мы знаем, что второй мопед двигался со скоростью 0, а из первого уравнения можно выразить $v_1$:

$$v_1 \cdot t = 300 \quad \Rightarrow \quad v_1 = \frac{300}{t}.$$

Мы не знаем значение $t$, но можем найти его, подставив его во второе уравнение:

$$v_1 \cdot (t - 2.5) + v_2 \cdot t = 300 \quad \Rightarrow \quad \frac{300}{t} \cdot (t - 2.5) = 300.$$

Решим это уравнение:

$$300 - 750/t = 300 \quad \Rightarrow \quad -750/t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 0.$$