Question

Найдите предел последовательности: 3/2; 6/3; 9/4; 12/5... 3n/n+1 Ответ: lim 3n/n+1=

Answer 1

$\lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n+1}= \lim_{n \to \infty} \frac{3}{1+\frac{1}{n} }=\frac{3}{1+0}=3$

Answer 2

Для нахождения предела последовательности 3n/(n+1), мы можем использовать правило Лопиталя. Правило Лопиталя применяется для вычисления пределов отношений функций, когда пределы исходных функций дают неопределенность вида 0/0 или ∞/∞.

Рассмотрим данную последовательность:

a(n) = 3n/(n+1)

Когда n стремится к бесконечности, мы можем применить правило Лопиталя, применив его к функции f(x) = 3x и g(x) = x + 1:

lim(n→∞) (3n)/(n+1) = lim(n→∞) (d/dn (3n))/(d/dn (n+1))

Производная функции f(x) = 3x по x равна 3, а производная функции g(x) = x + 1 по x равна 1. Применяя правило Лопиталя, получаем:

lim(n→∞) (3n)/(n+1) = lim(n→∞) 3/1 = 3

Таким образом, предел последовательности 3n/(n+1) при n, стремящемся к бесконечности, равен 3.