Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения: x²y'+xy+1=0

Answer 1

РЕШЕНИЕ НА ФОТО

Надеюсь помог)))

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода разделяющихся переменных. Шаги решения:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме: $x^2y' + xy + 1 = 0$.

2. Выразим производную $y'$: $y' = -\frac{xy + 1}{x^2}$.

3. Разделим переменные и интегрируем обе стороны уравнения: $\int \frac{1}{y + \frac{1}{x}} dy = -\int \frac{1}{x} dx$.

4. Выполним интегрирование с обеих сторон: $\ln |y + \frac{1}{x}| = -\ln |x| + C_1$, $\ln |y + \frac{1}{x}| + \ln |x| = C_1$, $\ln |xy + 1| = C_1$.

5. Избавимся от логарифма, применив экспоненциальную функцию: $|xy + 1| = e^{C_1}$.

6. Поскольку $C_1$ — произвольная константа, то $e^{C_1}$ также будет произвольной положительной константой. Переименуем её в $C$: $|xy + 1| = C$.

7. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $xy + 1$:

   а) Если $xy + 1 > 0$, то уравнение примет вид: $xy + 1 = C$, где $C > 0$. б) Если $xy + 1 < 0$, то уравнение примет вид: $-xy - 1 = C$, где $C < 0$.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения $x^2y' + xy + 1 = 0$ имеет два варианта:

а) $xy + 1 = C$, где $C$ — произвольная положительная константа. б) $-xy - 1 = C$, где $C$ — произвольная отрицательная константа.