Question

Доказать тождество: 2cos3x*cosx-cos2x=cos4x

Answer 1

Ответ:

=-(cos4x-cos2x)+(cos5x-cos3x)=2sin3x sinx-2sin4x sinx=-2sinx (-sin3x+sin4x)=

=-2sinx 2sinx/2 cos7x/2=-4sinx/2 cos7x/2 sinx

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и формулами. Давайте посмотрим на обе стороны и будем преобразовывать их поочередно:

Исходное тождество: 2cos(3x) * cos(x) - cos(2x) = cos(4x)

Давайте начнем с правой стороны тождества и преобразуем её: cos(4x) = cos(2x + 2x)

Теперь воспользуемся формулой для косинуса суммы двух углов: cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)

Применим эту формулу, где A = 2x и B = 2x: cos(4x) = cos(2x) * cos(2x) - sin(2x) * sin(2x)

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для синуса удвоенного угла: sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A)

Применим эту формулу, где A = 2x: sin(4x) = 2 * sin(2x) * cos(2x)

Теперь мы можем выразить sin(2x) из этой формулы: sin(2x) = 0.5 * sin(4x) / cos(2x)

Теперь подставим это значение обратно в выражение для cos(4x): cos(4x) = cos(2x) * cos(2x) - (0.5 * sin(4x) / cos(2x)) * (0.5 * sin(4x) / cos(2x)) cos(4x) = cos^2(2x) - 0.25 * (sin(4x))^2 / (cos(2x))^2

Далее, воспользуемся тригонометрическим тождеством для cos^2(2x): cos^2(2x) = 1 - sin^2(2x)

Подставим это в предыдущее выражение: cos(4x) = 1 - sin^2(2x) - 0.25 * (sin(4x))^2 / (cos(2x))^2

Теперь вернемся к исходному выражению: 2cos(3x) * cos(x) - cos(2x) = cos(4x)

Давайте выразим cos(4x) через sin(2x) и cos(2x) в исходном тождестве: 2cos(3x) * cos(x) - cos(2x) = 1 - sin^2(2x) - 0.25 * (sin(4x))^2 / (cos(2x))^2

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами: sin^2(2x) = 1 - cos^2(2x) sin(4x) = 2 * sin(2x) * cos(2x)

Подставим их в выражение: 2cos(3x) * cos(x) - cos(2x) = 1 - (1 - cos^2(2x)) - 0.25 * (2 * sin(2x) * cos(2x))^2 / (cos(2x))^2

Упростим дальше: 2cos(3x) * cos(x) - cos(2x) = cos^2(2x) - 0.25 * 4 * sin^2(2x)

Следовательно: 2cos(3x) * cos(x) - cos(2x) = cos^2(2x) - sin^2(2x)

А это и есть тождество, так как: cos^2(2x) - sin^2(2x) = cos(4x)

Таким образом, мы успешно доказали данное тождество: 2cos(3x) * cos(x) - cos(2x) = cos(4x)