Question

Объем куба равен 54. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Answer 1

1/6 объема куба

V=54/6=9

Answer 2

Чтобы найти объем четырехугольной пирамиды, основание которой является грань куба, а вершиной – центр куба, нужно разбить пирамиду на составные части. Пирамида состоит из пяти треугольных призм, каждая из которых имеет треугольную основу и общую вершину в центре куба. Таким образом, объем пирамиды можно найти, сложив объемы этих пяти призм.

Объем куба равен 54, значит, каждая его сторона равна кубическому корню из 54:

a = ∛54 ≈ 3√6 ≈ 3.301.

Теперь можно найти площадь одной из треугольных основ пирамиды. Для этого нужно найти площадь прямоугольного треугольника, где катеты равны половине стороны куба и его диагонали (радиусу сферы вписанной в куб). Используем теорему Пифагора:

катет = a / 2 = 3.301 / 2 ≈ 1.6505, диагональ = √(a^2 + a^2) = √(2a^2) = √2 * a ≈ 4.6617.

Площадь такого треугольника:

S = 0.5 * (катет) * (диагональ) ≈ 0.5 * 1.6505 * 4.6617 ≈ 3.8551.

Объем пирамиды можно найти как сумму объемов пяти призм:

V = 5 * S * a / 3 ≈ 5 * 3.8551 * 3.301 / 3 ≈ 63.771.

Таким образом, объем четырехугольной пирамиды равен примерно 63.771.