Question

В арифметической прогрессии сумма двенадцатого и четырнадцатого членов равно 172. Найдите ее тринадцатый член.

Answer 1

Ответ:

86.

Пошаговое объяснение:

Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.

У нас имеется сумма 12-го и 14 члена. А нам нужен 13.

Что мы делаем? Правильно, пользуемся признаком арифметической прогрессии!

a(12) + a(14) = 172

a(13) = $\frac{a(12) + a(14)}{2}$ = $\frac{172}{2}$ = 86.

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен "a", а разность между членами прогрессии равна "d".

Тогда формула для общего члена арифметической прогрессии будет: $a_n = a + (n - 1) \cdot d,$

где $a_n$ - n-й член прогрессии, $n$ - номер члена.

Из условия известно, что $a_{12} + a_{14} = 172.$

Подставляем формулу для $a_n$: $a + (12 - 1) \cdot d + a + (14 - 1) \cdot d = 172.$

Упростим уравнение: $2a + 25d = 172.$

Теперь, чтобы найти тринадцатый член ($a_{13}$), подставим $n = 13$ в формулу для $a_n$: $a_{13} = a + (13 - 1) \cdot d = a + 12d.$

Итак, у нас есть система из двух уравнений: $2a + 25d = 172,$ $a_{13} = a + 12d.$

Мы можем решить первое уравнение относительно $a$: $2a = 172 - 25d,$ $a = \frac{172 - 25d}{2}.$

Теперь подставим это значение $a$ во второе уравнение: $a_{13} = \frac{172 - 25d}{2} + 12d,$ $a_{13} = \frac{172 + 11d}{2}.$

Таким образом, тринадцатый член арифметической прогрессии равен $\frac{172 + 11d}{2}$.