Question

Знайти найбільше та найменше значення функції на вказаному відрізку [a; b] 1) у = х^3-3х^2+9х, на [-4; 4] ; 2) у=(х+6)/(х^2+13) , на [-5; 5] ; 3) у=х^2+81/х^2 , на [-1; 4] .

Answer 1

Ответ:

. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

  на промежутке [-4; 1]

Точка разрыва  x=9   в заданный интервал не входит.

Первая производная для нахождения точек экстремумов.

Обе точки экстремумов не попадают в интервал  x∈[-4; 1]

Значения функции на концах интервала

Ответ: наименьшее значение функции ;

           наибольшее значение функции F(1) = 0,75

-----------------------------------------------------------------------------

2. Записать уравнение касательной к графику

функции   F(x)=x⁴-2x   в точке  x₀=-1

Уравнение касательной имеет вид  y = F(x₀) + F’(x₀)·(x - x₀)

F(-1) = x⁴-2x = (-1)⁴ - 2(-1) = 1+2 = 3

F'(-1) = (x⁴-2x)' = 4x³ - 2 = 4(-1)³ - 2 = -6

y = F(x₀) + F’(x₀)·(x - x₀) = 3 - 6 (x + 1) = 3 - 6x -6 = -6x - 3

Ответ:  уравнение касательной   y = -6x - 3

---------------------------------------------------------------------------

3. Исследовать функцию и построить ее график  F(x)=x³-3x²

1) Область определения  D(F) = R

2) Область значений  E(F) = R

3) Нули функции

   F(x)=x³-3x² = 0;      x²(x - 3) = 0;     x₁ = 0;  x₂ = 3

4) Пересечение с осью OY

  x = 0;   F(0) = 0³-3·0² = 0

5) Экстремумы функции

  F'(x) = 0;   (x³-3x²)' = 0;   3x² - 6x = 0;  3x(x - 2) = 0;

  x₁ = 0;  F(0) = 0;   F"(0) = 6x - 6 = -6   ⇒  локальный максимум.

  x₂ = 2;  F(2) = 2³-3·2² = -4;  F"(2) = 6x - 6 = 6  ⇒  локальный минимум.

6) Монотонность функции.

   Интервалы знакопостоянства первой

              производной F'(x) = 3x(x - 2)

   ++++++++ (0) ------------- (2) +++++++++> x

         /                    \                    /

  x ∈ (-∞; 0)∪(2; +∞)  -  функция возрастает

  x ∈ (0;2)  -  функция убывает

7) Функция не периодическая, общего вида (не является чётной, не является нечётной).

8) Дополнительные точки для построения

x₃ = -1;  y₃ = -4;  x₄ = 1;  y₄ = -2

9) График функции в приложении

Answer 2

Давайте розглянемо кожну з функцій окремо і знайдемо їх найбільше та найменше значення на заданих відрізках.

1. Функція: у = х^3 - 3х^2 + 9х Відрізок: [-4, 4]

Для знаходження найбільшого та найменшого значення перевіримо значення функції на кінцях відрізка та в критичних точках (де похідна дорівнює нулю).

а) Знайдемо похідну функції: у' = 3х^2 - 6х + 9

б) Знайдемо критичні точки (де похідна дорівнює нулю): 3х^2 - 6х + 9 = 0 Дискримінант D = (-6)^2 - 4 * 3 * 9 = 36 - 108 = -72 (від'ємний) Так як дискримінант від'ємний, то рівняння не має реальних коренів. Значить, немає критичних точок на вказаному відрізку.

в) Значення на кінцях відрізка: При х = -4: у = (-4)^3 - 3(-4)^2 + 9(-4) = -64 + 48 - 36 = -52 При х = 4: у = 4^3 - 3 * 4^2 + 9 * 4 = 64 - 48 + 36 = 52

Отже, найбільше значення функції на відрізку [-4, 4]: 52 Найменше значення функції на відрізку [-4, 4]: -52

2. Функція: у = (х + 6) / (х^2 + 13) Відрізок: [-5, 5]

Для знаходження найбільшого та найменшого значення перевіримо значення функції на кінцях відрізка та в критичних точках (де похідна дорівнює нулю).

а) Знайдемо похідну функції: у' = (х^2 + 13 - (х + 6) * 2х) / (х^2 + 13)^2 Спростимо: у' = (13 - 6х) / (х^2 + 13)^2

б) Знайдемо критичні точки (де похідна дорівнює нулю): (13 - 6х) / (х^2 + 13)^2 = 0 13 - 6х = 0 х = 13 / 6

в) Значення на кінцях відрізка: При х = -5: у = (-5 + 6) / (-5^2 + 13) = 1 / 12 При х = 5: у = (5 + 6) / (5^2 + 13) = 11 / 38

Перевіримо значення функції в критичній точці: При х = 13 / 6: у = (13 / 6 + 6) / ((13 / 6)^2 + 13) ≈ 0.41

Отже, найбільше значення функції на відрізку [-5, 5]: приблизно 0.41 (до другого знаку після коми) Найменше значення функції на відрізку [-5, 5]: 1 / 12

3. Функція: у = х^2 + 81 / х^2 Відрізок: [-1, 4]

Для знаходження найбільшого та найменшого значення перевіримо значення функції на кінцях відрізка та в критичних точках (де похідна дорівнює нулю).

а) Знайдемо похідну функції: у' = 2х - 162 / х^3

б) Знайдемо критичні точки (де похідна дорівнює нулю): 2х - 162 / х^3 = 0 2х^4 = 162 х^4 = 81 х = ±3

в) Значення на кінцях відрізка: При х = -1: у = (-1)^2 + 81 / (-1)^2 = 82 При х = 4: у = 4^2 + 81 / 4^2 = 21.25

Перевіримо значення функції в критичних точках: При х = 3: у = 3^2 + 81 / 3^2 = 12 При х = -3: у = (-3)^2 + 81 / (-3)^2 = 12

Отже, найбільше значення функції на відрізку [-1, 4]: 82 Найменше значення функції на відрізку [-1, 4]: 12

Отже, ми знайшли найбільше та най