Question

ПРОШУ ПОМОГИТЕ, СДАЧА СЕССИИ 1. Исследовать функцию y=2x³-3x²+6 на промежутке монотонности и точки экстремума. (ВОЗМОЖНО НУЖЕН РИСУНОК)

Answer 1

Как то так! Удачи!!!

Answer 2

Конечно, я помогу вам исследовать данную функцию на промежуток монотонности и точки экстремума. Давайте начнем с анализа.

Для начала найдем производную функции y по x:

y = 2x³ - 3x² + 6

y' = d(2x³)/dx - d(3x²)/dx + d(6)/dx = 6x² - 6x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю, чтобы найти критические точки (потенциальные экстремумы):

6x² - 6x = 0

6x(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 1.

Теперь давайте посмотрим на знак производной в интервалах между и за пределами этих точек:

1. Когда x < 0: Подставляя x = -1, получаем y' = 6 - (-6) = 12. Значит, на этом интервале функция возрастает.

2. Когда 0 < x < 1: Подставляя x = 0.5, получаем y' = 60.5² - 60.5 = 0. Значит, на этом интервале функция убывает.

3. Когда x > 1: Подставляя x = 2, получаем y' = 62² - 62 = 12. Значит, на этом интервале функция снова возрастает.

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить характер экстремумов в критических точках:

y'' = d(6x² - 6x)/dx = 12x - 6

Для x = 0, y'' = -6 < 0. Значит, у нас есть локальный максимум.

Для x = 1, y'' = 6 > 0. Значит, у нас есть локальный минимум.

Соответственно, у нас есть точка экстремума (1, 5) – локальный минимум, и точка экстремума (0, 6) – локальный максимум.

Чтобы наглядно представить результаты, давайте построим график функции:

(Визуализация функции на графике)

На графике можно увидеть, что функция убывает на интервале (0, 1) и возрастает на остальных интервалах, а также максимум в точке (0, 6) и минимум в точке (1, 5).