Question

Y=1/3x^3+1/2x^2-5x найти промежутки монотонности для функции

Answer 1

Ответ:

Возрастает на (-∞;$\frac{-1-\sqrt{21} }{2}$), дальше убывает на ($\frac{-1-\sqrt{21} }{2} ;\frac{-1+\sqrt{21} }{2}$) и снова возрастает на ($\frac{-1+\sqrt{21} }{2}$;+∞).

Пошаговое объяснение:

Найдём производную исходной функции, пользуясь правилами дифференцирования:

$(\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-5x)'=\frac{3}{3}x^{2}+\frac{2}{2}x-5=x^{2}+x-5$

Чтобы найти промежутки монотонности, найдём точки смены монотонности. Они достигаются при равенстве производной нулю. Решим соответствующее уравнение:

$x^{2}+x-5=0$ ⇔ $x=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$ или $x=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$.

Так мы получили точки смены монотонности. Очевидно, что функция возрастает на промежутке (-∞;$\frac{-1-\sqrt{21} }{2}$) - это легко показать на конкретных значениях, а значит можно восстановить все остальные промежутки так, как показано в ответе.

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки монотонности функции, нужно найти её первую производную и определить знак этой производной на различных интервалах. Знак производной будет указывать на направление изменения функции (положительное значение - возрастание, отрицательное значение - убывание).

Дано уравнение функции: $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 5x$

Первая производная функции: $y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 5x\right)$

$y' = x^2 + x - 5$

Теперь найдем корни этой производной, которые будут точками, где производная обращается в ноль:

$x^2 + x - 5 = 0$

С помощью квадратного уравнения можно найти два корня: $x = -2$ и $x = 2$.

Мы можем выбрать тестовые точки между и за пределами этих корней, чтобы определить знак производной на различных интервалах:

1. Для $x < -2$, возьмем, например, $x = -3$: Подставляем в $y' = x^2 + x - 5$: $(-3)^2 + (-3) - 5 = 9 - 3 - 5 = 1$ (положительное значение) Значит, на этом интервале производная положительна, а функция монотонно возрастает.

2. Для $-2 < x < 2$, возьмем, например, $x = 0$: Подставляем в $y' = x^2 + x - 5$: $0^2 + 0 - 5 = -5$ (отрицательное значение) Значит, на этом интервале производная отрицательна, а функция монотонно убывает.

3. Для $x > 2$, возьмем, например, $x = 3$: Подставляем в $y' = x^2 + x - 5$: $3^2 + 3 - 5 = 9 + 3 - 5 = 7$ (положительное значение) Значит, на этом интервале производная положительна, а функция монотонно возрастает.

Итак, промежутки монотонности функции $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 5x$:

• Монотонно возрастает на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$
• Монотонно убывает на интервале $(-2, 2)$