Question

Определи объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=x^2+6,x=1,x=3,y=0.

Answer 1

Ответ:

304,4π куб.ед

Пошаговое объяснение:

          3                       3                                                                   3

V(x)=π∫(x^2+6)^2dx=π∫(x^4+12x^2+36)dx=π(x^5/5+12x^3/3+36x) | =

         1                         1                                                                    1

= π(1/5 * 3^5+12/3*3^3+36*3 - 1/5 * 1^5+12/3*1^3+36*1)  = 304,4π куб.ед

Answer 2

Чтобы найти объём тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, можно использовать метод цилиндрических оболочек.

Сначала найдем функцию высоты криволинейной трапеции в зависимости от x. У нас есть два ограничения по y: y = 0 (ось x) и y = x^2 + 6. Следовательно, функция высоты будет: h(x) = x^2 + 6.

Далее, нужно найти пределы интегрирования по x. Отрезок интегрирования будет между вертикальными линиями x = 1 и x = 3.

Теперь, для вычисления объёма, используем формулу цилиндрических оболочек:

V = ∫[a, b] 2πx * h(x) dx,

где a = 1, b = 3, h(x) = x^2 + 6.

Подставляя значения и решая интеграл:

V = ∫[1, 3] 2πx * (x^2 + 6) dx = 2π * ∫[1, 3] (x^3 + 6x) dx = 2π * [ (x^4/4) + (3x^2/2) ] | from 1 to 3 = 2π * [ (81/4) + (27/2) - (1/4) - (3/2) ] = 2π * (81/4 + 27/2 - 1/4 - 3/2) = 2π * (81/4 + 54/4 - 1/4 - 6/4) = 2π * (128/4) = 64π.

Таким образом, объём тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, равен 64π кубических единиц.