Question

Найдите интервалы возрастания и убывания функции у = х^4- 32х

Answer 1

у=х⁴ - 32х

у'=4x³ - 32=0

4х³=32

х³=8; х=2 - критическая точка

----------------------[2]----------------->x

y'(x)          -                   +

y(x)  убывает   мин.   возрастает

Ответ: ф-ция убывает при х∈(-∞; 2)

           ф-ция возрастает при х∈(2; ∞)

           при х=2 значение ф-ции минимально.

Answer 2

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции $y = x^4 - 32x$, давайте найдем её производную и проанализируем знаки производной на различных участках.

1. Найдем производную функции $y = x^4 - 32x$: $y' = 4x^3 - 32.$

2. Найдем точки, в которых производная обращается в ноль: $4x^3 - 32 = 0.$

Решив это уравнение, мы получим: $x^3 = 8,$ $x = 2.$

3. Теперь проанализируем знаки производной в интервалах:

   3.1. При $x < 2$: Подставим $x = 1$ (например) в производную: $y' = 4(1)^3 - 32 = -28$. Значит, на этом интервале производная отрицательна, что означает убывание функции $y = x^4 - 32x$.

   3.2. При $x > 2$: Подставим $x = 3$ (например) в производную: $y' = 4(3)^3 - 32 = 100$. Значит, на этом интервале производная положительна, что означает возрастание функции $y = x^4 - 32x$.

Итак, функция $y = x^4 - 32x$ убывает на интервале $(-\infty, 2)$ и возрастает на интервале $(2, \infty)$.