Question

Решить уравнение log2 (x-1) - log2 (x^2-x-16) = 0

Answer 1

я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

$log_{2}(x-1) - log_{2}(x^{2}-x -16) = 0$

$log_{2}(\frac{x-1}{x^{2}-x-16 }) =0$

___________________

ОДЗ:

$\left \{ {{x-1>0} \atop {x^{2}-x-16>0 }} \right.$

x² - x - 16>0

x² - x - 16=0

D = (-1)²- 4 * (-16) = 1 + 64 = 65

$x_{1} = \frac{1+\sqrt{65} }{2}$ ≈ 4,5

$x_{2} = \frac{1-\sqrt{65} }{2}$ ≈ -3,5

$\left \{ {{x>1} \atop {\left[\begin{array}{ccc}x>\frac{1+\sqrt{65} }{2} \\x$

${x>\frac{1+\sqrt{65} }{2} }}$

_______________________

$\frac{x-1}{x^{2}-x-16 } =1$ | * ( x² - x - 16 )

x-1 = x² - x - 16

x² - 2x - 15 = 0

D = (-2)² - 4 * (-15) = 4 + 60 = 64 = 8²

$x_{1} = \frac{2+8}{2*1}= \frac{10}{2} = 5$

$x_{2} = \frac{2-8}{2*1}= -\frac{6}{2} = -3$ - посторонний корень

Ответ: x = 5

Answer 3

Для решения данного логарифмического уравнения, мы можем использовать свойства логарифмов. Давайте начнем с упрощения уравнения:

log₂(x - 1) - log₂(x² - x - 16) = 0

Используем свойство логарифмов: logₐ(b) - logₐ(c) = logₐ(b/c)

log₂((x - 1) / (x² - x - 16)) = 0

Так как логарифм равен нулю только при аргументе, равном 1, мы можем записать:

(x - 1) / (x² - x - 16) = 1

Теперь давайте решим уравнение относительно x:

x - 1 = x² - x - 16

Переносим все элементы на одну сторону:

x² - 2x - 15 = 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем попробовать факторизацию или использовать квадратное уравнение:

(x - 5)(x + 3) = 0

Из этого уравнения мы получаем два возможных значения для x:

1. x - 5 = 0 => x = 5
2. x + 3 = 0 => x = -3

Проверим оба значения, подставив их в исходное уравнение:

Для x = 5:

log₂(5 - 1) - log₂(5² - 5 - 16) = log₂(4) - log₂(9) = 2 - 3 = -1

Для x = -3:

log₂(-3 - 1) - log₂((-3)² - (-3) - 16) = log₂(-4) - log₂(4) = undefined

Второе значение не подходит, так как логарифм отрицательного числа или нуля не определен для действительных чисел. Таким образом, единственное корректное решение - это x = 5.