Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:y''+ y'-20y=20x+3.

Answer 1

Решение задачи описано в прикрепленном фото

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение можно найти в два этапа: сначала найти общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем использовать метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения.

1. Найдем общее решение однородного уравнения:

Уравнение: y'' + y' - 20y = 0

Характеристическое уравнение: r^2 + r - 20 = 0

Факторизуем характеристическое уравнение: (r - 4)(r + 5) = 0

Корни: r = 4 и r = -5

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: y_h = c1 * e^(4x) + c2 * e^(-5x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения:

Неоднородное уравнение: y'' + y' - 20y = 20x + 3.

Чтобы использовать метод вариации постоянных, предположим, что частное решение имеет вид: y_p = a * x + b.

Подставляем y_p в уравнение и находим значения a и b: y_p'' = 0, y_p' = a, 20y_p = 20(ax + b).

Подставляем эти значения в уравнение: 0 + a - 20(ax + b) = 20x + 3, a - 20ax - 20b = 20x + 3, -20ax + a - 20b = 20x + 3.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений: -20a = 20, a - 20b = 3.

Из первого уравнения находим a = -1, из второго уравнения находим b = -1/20.

Таким образом, частное решение имеет вид: y_p = -x - 1/20.

Итоговое общее решение исходного неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = c1 * e^(4x) + c2 * e^(-5x) - x - 1/20,

где c1 и c2 - произвольные постоянные.