Question

Решить уравнение 7log^2_5(2x) - 20log_5(2x) - 3 = 0.

Answer 1

Ответ:

$\frac{125}{2}, \frac{1}{2\sqrt[7]{5}}$

Пошаговое объяснение:

$7\log^2_{5}(2x)-20\log_5(2x) - 3 = 0.$

Сделаем замену переменной: $z = \log_5(2x)$

$7z^2 - 20z -3 = 0;$

$D = 400 + 84 = 484;$

$\left [ {{z=\frac{20+22}{14}} \atop {z=\frac{20-22}{14}}} \right. => \left [ {{z=3 \atop {z=-\frac{1}{7}}} \right.$

$\left [ {{\log_5(2x)=3} \atop {\log_5(2x)=-\frac{1}{7}}} \right. => \left [ {{2x=5^3} \atop {2x=5^{-\frac{1}{7}}}} => \left [ {{2x=125} \atop {2x=\frac{1}{\sqrt[7]{5}}}} => \left [ {{x=\frac{125}{2}} \atop {x=\frac{1}{2\sqrt[7]{5}}}}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

$7\log^2_5(2x) - 20\log_5(2x) - 3 = 0$

Для удобства, давайте введем новую переменную: $y = \log_5(2x)$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$7y^2 - 20y - 3 = 0$

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить используя квадратную формулу:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где у нас $a = 7$, $b = -20$, и $c = -3$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 400 + 84 = 484$

Так как $D > 0$, у нас есть два действительных корня:

$y = \frac{-(-20) \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 7}$ $y = \frac{20 \pm 22}{14}$

Таким образом, мы имеем два значения для $y$:

1. $y = \frac{20 + 22}{14} = \frac{42}{14} = 3$
2. $y = \frac{20 - 22}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Теперь вернемся к исходной переменной $y = \log_5(2x)$:

1. $\log_5(2x) = 3$ Это можно переписать как: $2x = 5^3 = 125$ Решение: $x = \frac{125}{2}$

2. $\log_5(2x) = -\frac{1}{7}$ Это можно переписать как: $2x = 5^{-\frac{1}{7}}$ Решение: $x = \frac{5^{-\frac{1}{7}}}{2}$

Итак, уравнение имеет два действительных корня: $x = \frac{125}{2}$ и $x = \frac{5^{-\frac{1}{7}}}{2}$.