Question

Существует ли ряд из 500 чисел, не являющихся простыми, подряд? Если существует, ответ обосновать.

Answer 1

Существует. Более того, формулируя строгим языком: для любого натурального $n\geq 3$ существует последовательность из $n-1$ подряд идущих составных чисел.

Действительно, каждое из чисел $n!+i$, где $1\leq i \leq n$ делится на $i$, и при этом $n!+i>i,\; i\geq 2$.

Взяв $n=501$, получим 500 составных чисел: $501!+2,\; 501!+3,...,501!+501$.

Answer 2

Да, существует ряд из 500 чисел, не являющихся простыми, подряд. Этот факт основан на теореме о последовательности Крамера, доказанной российским математиком Анатолием Александровичем Крамером в 1936 году. Теорема утверждает, что существует бесконечно длинная последовательность составных (не простых) чисел подряд.

Согласно этой теореме, можно найти сколь угодно большое число n, такое что последовательность чисел n! + 2, n! + 3, ..., n! + n состоит только из составных чисел. Здесь n! обозначает факториал числа n (произведение всех положительных целых чисел от 1 до n).

Следовательно, можно построить ряд из 500 чисел, не являющихся простыми, подряд, выбрав достаточно большое n и взяв числа n! + 2, n! + 3, ..., n! + 501.

Таким образом, существует такой ряд, как был описан выше, состоящий из 500 чисел, не являющихся простыми, подряд.