Question

Решить дифференциальное уравнение 1-го порядка: y′cosx+ysinx=1.

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение 1-го порядка, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Для этого найдем подходящий множитель, умножив обе части уравнения на функцию, зависящую только от x.

Уравнение имеет вид: y' * cos(x) + y * sin(x) = 1

Для нахождения интегрирующего множителя умножим обе части уравнения на exp(∫sin(x)dx), так как производная этой функции равна sin(x):

exp(∫sin(x)dx) * (y' * cos(x) + y * sin(x)) = exp(∫sin(x)dx)

Теперь раскроем левую часть уравнения, учитывая, что ∫sin(x)dx = -cos(x):

y' * cos(x) * exp(∫sin(x)dx) + y * sin(x) * exp(∫sin(x)dx) = exp(∫sin(x)dx)

cos(x) * exp(-cos(x)) * y' + sin(x) * exp(-cos(x)) * y = exp(-cos(x))

Теперь заменим произведение cos(x) * exp(-cos(x)) на производную этой функции, используя правило производной произведения функций:

[cos(x) * exp(-cos(x))]′ * y = exp(-cos(x))

Известно, что [cos(x) * exp(-cos(x))]′ = -sin(x) * exp(-cos(x)) + cos(x) * sin(x) * exp(-cos(x)):

(-sin(x) * exp(-cos(x)) + cos(x) * sin(x) * exp(-cos(x))) * y = exp(-cos(x))

-sin(x) * exp(-cos(x)) * y + cos(x) * sin(x) * exp(-cos(x)) * y = exp(-cos(x))

Теперь упростим это уравнение:

-sin(x) * exp(-cos(x)) * y + cos(x) * sin(x) * exp(-cos(x)) * y = exp(-cos(x))

(sin(x) * cos(x) - sin(x) * cos(x)) * exp(-cos(x)) * y = exp(-cos(x))

0 * exp(-cos(x)) * y = exp(-cos(x))

0 = exp(-cos(x))

Таким образом, мы получили уравнение 0 = exp(-cos(x)), которое не зависит от y и не имеет решений.

Следовательно, исходное дифференциальное уравнение y' * cos(x) + y * sin(x) = 1 не имеет решений.