Question

найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y'cosx-ysinx=0

Answer 1

y'=y tgx

dy/y=tgx dx

ln |y| = -ln |cos x| + C1

y=C/cos x

Answer 2

y'cosx - y sinx = y'cosx + y cos'x = (ycosx)' = 0

y cosx = C

y = C / cosx

Answer 3

Дано дифференциальное уравнение первого порядка:

y'cosx - ysinx = 0

Для нахождения общего решения данного уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Для этого перепишем уравнение в виде:

y'/y = sinx/cosx

Затем проинтегрируем обе части уравнения:

∫(y'/y) dy = ∫(sinx/cosx) dx

Для левой части уравнения мы получаем:

ln|y| = ∫(sinx/cosx) dx = -ln|cosx| + C1,

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Здесь мы использовали, что ∫(sinx/cosx) dx = -ln|cosx| + C2, где C2 - другая произвольная постоянная интегрирования.

Получаем:

ln|y| = -ln|cosx| + C1,

Применяя свойства логарифма, можно переписать это уравнение в виде:

ln|y| + ln|cosx| = C1,

Суммируя логарифмы, мы получаем:

ln|ycosx| = C1,

Возводя обе части уравнения в экспоненту, получаем:

|ycosx| = e^C1 = C,

где C = e^C1 - положительная постоянная.

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1) Если C = 0, тогда |ycosx| = 0, что означает, что y = 0.

2) Если C ≠ 0, тогда |ycosx| = C. Разделим это уравнение на |cosx|:

|y| = C/|cosx|.

Теперь рассмотрим два подслучая:

а) Если cosx > 0, то |cosx| = cosx, и уравнение принимает вид:

y = C/cosx = Csecx,

где secx - секанс.

б) Если cosx < 0, то |cosx| = -cosx, и уравнение принимает вид:

y = C/(-cosx) = -Csecx.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения первого порядка:

y = Csecx, где C - произвольная постоянная.

или

y = -Csecx, где C - произвольная постоянная.