Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініямиу = 2 – x^2, y = x​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y₁ = 2-x² ; y₂ = x ;

найдем точки пересечения графиков

2-x² = x;  x²+ x -2 = 0;  x₁ = -2 ; x₂ = 1

площадь фигуры -  это определенный интеграл

$\int\limits^1_ {-2} (2-x^2 -x)\, dx = -\int\limits^1_ {-2} x^2\, dx - \int\limits^1_ {-2} x\, dx +2\int\limits^1_ {-2} \, dx =$

= - x³ /3 Ι₋₂¹ +(-x²/2)  Ι₋₂¹ +2x  Ι₋₂¹ = -3 +3/2 -6 = 9/2

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої двома лініями, спершу ми повинні знайти точки їх перетину. У вас є дві лінії:

1. $y = 2 - x^2$
2. $y = x$

Щоб знайти точки перетину, встановимо їхи рівні один одному:

$2 - x^2 = x$

Розв'яжемо це рівняння відносно $x$:

$x^2 + x - 2 = 0$

Факторизуємо ліву сторону:

$(x + 2)(x - 1) = 0$

Звідси маємо два можливих значення для $x$: $x = -2$ або $x = 1$.

Тепер, щоб знайти відповідні значення $y$ для цих точок, підставимо їх в рівняння $y = 2 - x^2$ та $y = x$:

Для $x = -2$: $y = 2 - (-2)^2 = 2 - 4 = -2$

Для $x = 1$: $y = 2 - 1^2 = 1$

Таким чином, отримали дві точки перетину: $(-2, -2)$ та $(1, 1)$.

Тепер, для обчислення площі фігури, обмеженої цими лініями, ми можемо використовувати інтеграли. Площа може бути знайдена як інтеграл різниці функцій $y = 2 - x^2$ та $y = x$ від $x = -2$ до $x = 1$:

$A = \int_{-2}^{1} (2 - x^2 - x) dx$

Проведемо обчислення:

$A = \int_{-2}^{1} (2 - x^2 - x) dx = \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1}$ $A = \left(2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) - \left(-4 + \frac{8}{3} - 2\right) = \frac{1}{6}$

Отже, площа фігури, обмеженої лініями $y = 2 - x^2$ та $y = x$, дорівнює $\frac{1}{6}$ квадратних одиниць.