Question

Определить выпуклость линии y=x³-5x²+3x-1 в точках x=1,x=2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

если  на отрезке

y''(x) > 0, то функция вогнута на этом отрезке

y''(x) < 0, то функция выпукла на этом отрезке

найдем вторую производную от у(х)

$\frac{d}{dx} ((x^{3} )' -5(x^{2} )' +3(x)' -(1)') =$

= 3(x²)' -10(x)' = 6x -10

теперь посмотрим, есть ли на отрезке [1;2] точки, где вторая производная меняет знак

6х-10 = 0 ⇒ х = 10/6

в этой точке вторая производная меняет знак, значит и функция меняет выпуклость

посмотрим знак возле этой точки х = 10/6; слева от нее  y''(1) <0; справа от нее y'' (2) >0

таким образом

на [1; 10/6) функция выпукла

на (10/6; 2] функция вогнута

точка  х = 10/6 - точка перегиба графика функции

Answer 2

Для определения выпуклости или вогнутости функции в заданных точках, давайте воспользуемся второй производной. Если вторая производная положительна в заданной точке, то функция выпукла в этой точке. Если вторая производная отрицательна, то функция вогнута в этой точке.

Данная функция задана как y = x³ - 5x² + 3x - 1.

1. Вычислим первую производную: y' = 3x² - 10x + 3.

2. Вычислим вторую производную: y'' = 6x - 10.

Теперь мы можем оценить выпуклость функции в заданных точках:

При x = 1: y''(1) = 6 * 1 - 10 = 6 - 10 = -4. Так как y''(1) отрицательна, то функция вогнута в точке x = 1.

При x = 2: y''(2) = 6 * 2 - 10 = 12 - 10 = 2. Так как y''(2) положительна, то функция выпукла в точке x = 2.

Итак, в точке x = 1 функция вогнута, а в точке x = 2 функция выпукла.