Question

.Найти первообразную функции f (x) = х^2 + 6, график которой проходит через точку А (3;1).

Answer 1

Ответ:

$F(x) = \frac{x^3}{3} +6x-26.$

Пошаговое объяснение:

1) За правилами интегрирования находим первообразную от f(x):

$f(x)=F(x)=\frac{x^3}{3} +6x+C$.

2) $A(x;y)=A(3;1)$, то есть: $1=\frac{3^3}{3} +6*3+C; C=-26.$

3) Итого имеем первообразную, которая проходит через точку А (3;1):

$F(x) = \frac{x^3}{3} +6x-26.$

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную функции $f(x) = x^2 + 6$, мы должны найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. То есть, нам нужно найти $F(x)$ такое, что $F'(x) = f(x)$.

Интегрируя функцию $f(x)$, мы получим:

$F(x) = \int (x^2 + 6) \, dx$

Разделим интеграл на два члена:

$F(x) = \int x^2 \, dx + \int 6 \, dx$

Теперь проинтегрируем каждый член по отдельности:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 6x + C$

Где $C$ - это постоянная интегрирования.

Мы знаем, что график функции $f(x)$ проходит через точку $A(3, 1)$. Это означает, что $f(3) = 1$. Подставив $x = 3$ в $f(x)$, мы получим:

$f(3) = 3^2 + 6 = 9 + 6 = 15$

Так как $f(3) = 15$ и график должен проходить через точку $A(3, 1)$, то у нас есть условие $F(3) = 1$. Подставив $x = 3$ в $F(x)$, получаем:

$F(3) = \frac{3^3}{3} + 6 \cdot 3 + C = 9 + 18 + C = 27 + C$

Теперь мы можем найти значение постоянной $C$, подставив $F(3) = 1$:

$27 + C = 1$

Отсюда $C = -26$. Таким образом, первообразная функции $f(x) = x^2 + 6$, проходящей через точку $A(3, 1)$, равна:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 6x - 26$