Question

Даны вершины треугольника: А(-4; 6) В(5; 12) С(17; -6) Найдите угол С, как угол между векторами.

Answer 1

Даны вершины треугольника: А(-4; 6) В(5; 12) С(17; -6).

Находим векторы:

СА = (-21; 12),  модуль равен√((-21²) + 12²) = √(441 + 144) = √585  ≈

 24,18677324

СВ = (-12; 18), модуль равен √((-12²) + 18²) = √(144 + 324) = √765  ≈

27,65863337

cos C = (-21*(-12) + 12*18)/(√585*√765) = 0,699579706 .

C = 0,795987  радиан или 45,60670  градуса.

Answer 2

Чтобы найти угол между векторами AB и AC, нужно использовать следующую формулу:

$\cos \theta = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{AC}\|}}$

где $\mathbf{AB}$ - вектор между точками A и B, $\mathbf{AC}$ - вектор между точками A и C, $\cdot$ обозначает скалярное произведение векторов, и $\|\mathbf{AB}\|$ и $\|\mathbf{AC}\|$ - длины этих векторов.

Сначала найдем векторы AB и AC:

$\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (5, 12) - (-4, 6) = (9, 6)$

$\mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A} = (17, -6) - (-4, 6) = (21, -12)$

Теперь найдем длины этих векторов:

$\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117}$

$\|\mathbf{AC}\| = \sqrt{21^2 + (-12)^2} = \sqrt{441 + 144} = \sqrt{585}$

Подставим все значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{AC}\|}} = \frac{{(9, 6) \cdot (21, -12)}}{{\sqrt{117} \cdot \sqrt{585}}}$

Вычислим числитель скалярного произведения векторов:

$(9, 6) \cdot (21, -12) = 9 \cdot 21 + 6 \cdot (-12) = 189 - 72 = 117$

Теперь выразим угол:

$\cos \theta = \frac{{117}}{{\sqrt{117} \cdot \sqrt{585}}}$

$\theta = \arccos \left( \frac{{117}}{{\sqrt{117} \cdot \sqrt{585}}} \right)$

Подсчет данного выражения даст вам значение угла C в радианах. Чтобы получить значение угла в градусах, умножьте радианную меру на $\frac{{180}}{{\pi}}$:

$\text{Угол C (в градусах)} = \theta \cdot \frac{{180}}{{\pi}}$

Вычислив все это, вы найдете значение угла C.