Question

Помогите пожалуйста Исследовать функцию и построить график f(x)=x⁴+x²+1

Answer 1

Исследовать функцию и построить график

f(x)=x⁴+x²+1

Пошаговое объяснение:

f(x)=x⁴+x²+1 . Область определения х-любое.

1)Промежутки возрастания и убывания.

Найдем производную функции  f'(x)=(x⁴+x²+1)'=4х³+2х=2х(2х²+1).

f'(x)=0  , выражение 2х²+1>0 при любом х.

Критическая точка х=0 .

Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X,

2х(2х²+1)>0  или х>0

----------------------(0)++++++++ ,   х∈(0;+∞) .

Т.к. функция определена и непрерывна при любом х, то можно включит концы отрезка х∈ [0;+∞)

Если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Используя схему выше ⇒ х∈(-∞;0]  .

2)Экстремумы.

Точка х₀-точка максимума , если производная меняет свой знак с +на -.

Точка х₀- точка минимума , если производная меняет свой знак с - на +.

у'         -                            +

--------------------------(0)---------------

у         убыв         min         возр

х=0  точка минимума  ,   f(0)=0⁴+0²+1=1

Функция четная  f(-x)=(-x)⁴+(-x)²+1=x⁴+x²+1=f(x), график симметричен относительно оси оу.

Доп. точки

х   -1,5      -1      -0,5

у   8,31      3      1,31

Answer 2

Конечно, я помогу вам исследовать функцию и построить её график.

Функция: f(x) = x⁴ + x² + 1

Давайте начнем с анализа этой функции:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных значений x, так как вся действительная прямая является её областью определения.

2. Симметрия: Функция является четной, так как все её степени имеют только четные показатели. Это означает, что график функции симметричен относительно оси y.

3. Экстремумы: Для нахождения экстремумов функции, найдем её производную и приравняем к нулю:

   f(x) = x⁴ + x² + 1 f'(x) = 4x³ + 2x

   Решим уравнение f'(x) = 0:

   4x³ + 2x = 0 2x(x² + 1) = 0 x = 0 (двукратный корень), x = ±i (корни комплексные)

   Таким образом, у функции нет реальных экстремумов.

4. Точки перегиба: Точки перегиба соответствуют изменению выпуклости/вогнутости графика функции. Для этого найдем вторую производную:

   f''(x) = 12x² + 2

   Решим уравнение f''(x) = 0:

   12x² + 2 = 0 12x² = -2 x² = -1/6

   Это уравнение не имеет решений в действительных числах, поэтому у функции нет точек перегиба.

5. Поведение на бесконечности: Поскольку старший член x⁴ растет быстрее, чем любая конечная степень x, функция будет расти до бесконечности при положительных и отрицательных значениях x.

6. Значение при x=0: f(0) = 0⁴ + 0² + 1 = 1. Таким образом, у функции есть минимум при x=0.

Теперь давайте построим график функции:

На этом графике видно, что функция не имеет максимумов, имеет минимум в точке (0, 1), и её график симметричен относительно оси y. Функция также не имеет точек перегиба и растет до бесконечности при стремлении аргумента к плюс и минус бесконечности.