Question

Сколько различных перестановок (неосмысленных слов) можно получить, переставляя буквы в слове «ФЗФТШМФТИ», чтобы в полученном слове не встретилось подслово: а) (3) «ТШ» (т. е. чтобы буква «Ш» не шла непосредственно ни за одной из букв за буквой «Т»); б) (5) «ФЗ» (т. е. чтобы буква «З» не шла непосредственно за буквой «Ф») в) (7) «ФТ» (т. е. чтобы ни какая из букв «Т» не шла непосредственно ни за одной из двух букв «Ф»)

Answer 1

ФЗФТШМФТИ - 3 Ф, 2 Т, 1 З, 1 Ш, 1 М, 1 И. 9 букв

Сначала расставим 3. Это можно сделать $C_9^3$ способами. Для остальных букв остается 6 мест. Теперь на них расставим 2 Т. Это можно сделать $C_6^2$ способами. Для остальных букв остается 4 места. И т.д. Тогда общее количество различных перестановок равно $C_9^3*C_6^2*C_4^1*C_3^1*C_2^1*C_1^1=\dfrac{9*8*7}{2*3}*\dfrac{6*5}{2}*4*3*2=9*8*7*6*5*2=30240$

a) В любой перестановке будет не более одного подслова «ТШ».

Подсчитаем все перестановки, его содержащие. Ш может стоять на любом месте со2 по 9ое => вариантов расстановки 8. Автоматически на предшествующее место ставим одну Т. Осталось расставить 3 Ф, 1 Т, 1 З, 1 М, 1 И. По аналогии с общим случаем, получаем общее число перестановок $8*C_7^3*C_4^1*C_3^1*C_2^1*C_1^1=8*\dfrac{7*6*5}{2*3}*4*3*2=8*7*6*5*4=6720$

Тогда ответ на этот пункт - $30240-6720=23520$

b) В любой перестановке будет не более одного подслова «ФЗ».

Подсчитаем все перестановки, его содержащие. З может стоять на любом месте со2 по 9ое => вариантов расстановки 8. Автоматически на предшествующее место ставим одну Ф. Осталось расставить 2 Ф, 2 Т, 1 Ш, 1 М, 1 И. По аналогии получаем общее число перестановок  $8*C_7^2*C_5^2*C_3^1*C_2^1*C_1^1=8*\dfrac{7*6}{2}*\dfrac{5*4}{2}*3*2=8*7*6*5*3*2=10080$

Тогда ответ на этот пункт - $30240-10080=20160$

c)  В любой перестановке будет не более двух подслов «ФТ».

В данном случае при аналогичном подходе мы будем учитывать слова с двумя «ФТ» 2 раза: один раз для "правого" подслова, и один для левого. Потому нужно будет отдельно найти число слов, содержащих 2 подслова.

Подсчитаем все перестановки. T может стоять на любом месте со2 по 9ое => вариантов расстановки 8. Автоматически на предшествующее место ставим одну Ф. Осталось расставить 2 Ф, 1 Т, 1 З, 1 Ш, 1 М, 1 И. По аналогии получаем общее число перестановок  $8*C_7^2*C_5^1*C_4^1*C_3^1*C_2^1*C_1^1=8*\dfrac{7*6}{2}*5*4*3*2=20160$

Теперь для 2 подслов:

Сначала выставим "левое" подслово. Если справа осталось k>1 мест, то расставить на них подслово можно, очевидно, k-1 способом. Тогда общее число способов расстановки двух подслов равно

$6+5+4+3+2+1=21$ . Осталось расставить 1 Ф, 1 З, 1 Ш, 1 М, 1 И Тогда  общее число перестановок $21*5*4*3*2*1=2520$

Тогда ответ $30240-20160+2520=12600$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть задачи поочередно:

а) Исключение подслова «ТШ»:

Есть два случая, которые нужно учесть: «ТШ» и «ШТ». Для каждого из них нам нужно найти количество перестановок, и затем вычесть это количество из общего числа перестановок.

1. «ТШ»: Мы можем рассматривать "ТШ" как одну единицу. Таким образом, у нас есть 7 элементов для перестановки: Ф, З, Ф, Ш, М, Ф, ТШ. Всего перестановок: 7! (7 факториалов).

2. «ШТ»: Аналогично, мы можем рассматривать "ШТ" как одну единицу. Таким образом, у нас есть 7 элементов для перестановки: Ф, З, Ф, ТШ, М, Ф, ШТ. Всего перестановок: 7! (7 факториалов).

Общее количество перестановок, в которых подслово «ТШ» встречается: 2 * 7!.

Теперь давайте найдем общее количество перестановок изначального слова «ФЗФТШМФТИ»:

Исходное слово содержит 8 букв, но некоторые из них повторяются: Ф - 3 раза, З - 1 раз, Т - 2 раза, Ш - 1 раз, М - 1 раз, И - 1 раз.

Общее количество перестановок исходного слова: 8! / (3! * 2! * 1! * 1! * 1!) (разделили на факториалы повторяющихся букв).

Итак, общее количество перестановок, удовлетворяющих условию а), равно:

Общее количество перестановок - Общее количество перестановок, в которых подслово «ТШ» встречается: (8! / (3! * 2! * 1! * 1! * 1!)) - (2 * 7!)

б) Исключение подслова «ФЗ»:

Аналогично, для подслова «ФЗ», у нас есть два случая: "ФЗ" и "ЗФ".

1. «ФЗ»: Рассматриваем "ФЗ" как одну единицу. Элементы для перестановки: ФЗ, ФТ, ШМФТИ. Всего перестановок: 3! (3 факториала).

2. «ЗФ»: Рассматриваем "ЗФ" как одну единицу. Элементы для перестановки: ЗФ, ФТ, ШМФТИ. Всего перестановок: 3! (3 факториала).

Общее количество перестановок, в которых подслово «ФЗ» встречается: 2 * 3!.

Общее количество перестановок исходного слова уже рассчитано: 8! / (3! * 2! * 1! * 1! * 1!).

Общее количество перестановок, удовлетворяющих условию б), равно:

Общее количество перестановок - Общее количество перестановок, в которых подслово «ФЗ» встречается: (8! / (3! * 2! * 1! * 1! * 1!)) - (2 * 3!)

в) Исключение подслова «ФТ»:

Аналогично, для подслова «ФТ», у нас есть два случая: "ФТ" и "ТФ".

1. «ФТ»: Рассматриваем "ФТ" как одну единицу. Элементы для перестановки: ФТ, З, ШМФТИ. Всего перестановок: 3!.

2. «ТФ»: Рассматриваем "ТФ" как одну единицу. Элементы для перестановки: ТФ, З, ШМФТИ. Всего перестановок: 3!.

Общее количество перестановок, в которых подслово «ФТ» встречается: 2 * 3!.

Общее количество перестановок исходного слова уже рассчитано: 8! / (3! * 2! * 1! * 1! * 1!).

Общее количество перестановок, удовлетворяющих условию в), равно:

Общее количество перестановок - Общее количество перестановок, в которых подслово «ФТ» встречается: (8! / (3! * 2! * 1! * 1! * 1!)) - (2 * 3!)

Таким образом, вычисляя соответствующие значения, можно найти количество различных перестановок для каждой части задачи.