Question

По теме «Наибольшие и наименьшие значения функции» Вариант 3 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: y = x2+4x-12 на отрезку [-3; 0] y = x3+3x2-9x+1на отрезке [0; 2]

Answer 1

1)

У(-3)=9-12-12=-15

У(0)=-12

У'=2X+4

2X+4=0

2X=-4

X=-2

Y(-2)=4-8-12=-16

НАИМ ЗНАЧ = -16, НАИБ = -12

2)

У(0) = 1

У(2) = 8+12 - 18 + 1 = 3

У' = 3X²+6X-9

3*(X²+2X-3)=0

X²+2X-3=0

D = 4-4*1*(-3) = 4+12 = 16

√D = 4

X1 = (-2-4)/2 = -3

X2 = (-2+4)/2 = 1

-3 НЕ ВХОДИТ В ОТРЕЗОК 0,2.

У(1) = 1+3-9+1 = -4

НАИМ ЗНАЧ = -4, НАИБ = 3

Answer 2

Для нахождения наибольших и наименьших значений функций на заданных интервалах, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки: Критические точки функции соответствуют её экстремумам (максимумам или минимумам) или точкам, где производная функции равна нулю или не существует.

a) Для функции y = x^2 + 4x - 12 на интервале [-3, 0]:

Вычислим производную функции: y' = 2x + 4.

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: 2x + 4 = 0, 2x = -4, x = -2.

Таким образом, критическая точка для этой функции на интервале [-3, 0] - это x = -2.

b) Для функции y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 на интервале [0, 2]:

Вычислим производную функции: y' = 3x^2 + 6x - 9.

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: 3x^2 + 6x - 9 = 0.

Решим квадратное уравнение. Для упрощения, поделим все коэффициенты на 3: x^2 + 2x - 3 = 0.

Факторизуем: (x + 3)(x - 1) = 0.

Таким образом, критические точки для этой функции на интервале [0, 2] - это x = -3 и x = 1.

2. Оценка значений в критических точках и на концах интервалов:

a) Для функции y = x^2 + 4x - 12:

• Подставим x = -3: y(-3) = (-3)^2 + 4(-3) - 12 = 9 - 12 - 12 = -15.
• Подставим x = -2 (критическая точка): y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 12 = 4 - 8 - 12 = -16.
• Подставим x = 0: y(0) = 0^2 + 4(0) - 12 = -12.

b) Для функции y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1:

• Подставим x = 0: y(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 9(0) + 1 = 1.
• Подставим x = -3 (критическая точка): y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28.
• Подставим x = 1 (критическая точка): y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4.
• Подставим x = 2: y(2) = 2^3 + 3(2)^2 - 9(2) + 1 = 8 + 12 - 18 + 1 = 3.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

a) Для функции y = x^2 + 4x - 12: Наибольшее значение: -12 (при x = 0). Наименьшее значение: -16 (при x = -2).

b) Для функции y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1: Наибольшее значение: 28 (при x = -3). Наименьшее значение: -4 (при x = 1).

Таким образом, наибольшие и наименьшие значения функций на указанных интервалах найдены.