Question

70 баллов Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Одна из них равна 10, а вторая образует с основанием угол, равный 60° . Найдите среднюю линию трапеции. Ответ: нужно подробное решение, можно в виде фото)

Answer 1

Дано:

Трапеция ABCD;

AC, BD - диагонали;

∠AОD = 90°

∠BDA = 60°

Найти:

Cреднюю линию трапеции - m

Решение:

1. Рассмотрим Треугольник АОD где ∠AОD = 90° (за условиям) и ∠BDA = 60° (тоже за условиям)

за свойством треугольника сума всех углов равно 180°

⇒ 180° =  ∠AОD + ∠BDA + ∠ОАD

⇒ ∠ОАD = 30°  

2. Проведём высоту СN к остове AD( она будет перпендикулярна,

∠СNA=∠CND = 90°)

Рассмотрим  создавшейся треугольник ACN - прямоугольный (∠СNA = 90)

Т. к. ∠ОАD = 30°  то за свойством стороны которая лежит против угла 30°  

СN=1/2CA  

⇒CN=5 cм

3. "Диагонали трапеции перпендикулярны, решить задачу поможет дополнительное построение."

1) (Рис. сm2) Проведем через вершину меньшего основания прямую, параллельную диагонали: CF∥BD

2) (Рис. сm3) Четырехугольник BCFD — параллелограмм, так как у него противоположные стороны лежат на параллельных прямых (CF∥BD по построению, BC∥AD как основания трапеции). Следовательно, DF=BC, CF=BD.

Так как диагонали трапеции перпендикулярны, прямые CF и AC  также перпендикулярны (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой).

4. Рассмотрим создавшейся треугольник СNF - прямоугольный ( ∠СNF = 90°)

Т. к. ВD∥CF , а  ВС∥DF и в следствии ВС∥AF

⇒ ∠ВDF = ∠CFA = 60°

Т. к. треугольник прямоугольный , то

sin∠CFN = $\frac{CN}{CF}$

⇒СF = $\frac{CN}{sinCFN}$

⇒ CF = 5/sin∠60°

CF = 5/(√3/2)

CF = 10/√3 cм

CF = BD (cм пункт №3)

⇒ BD = 10/√3 cм

5. Рассмотрим трапецию ABCD

За формулой S = $\frac{d1*d2}{2}$*sina

где а =  угол между диагоналями d1 и d2

За условием диагонали перпендикулярны

⇒ S =(BD*AC/2)* sin∠90°

S =10*(10/√3)/2

S =50/√3 cм²

Так же площадь можно найти через среднюю линию и высоту за формулой:

S = m · h

⇒m = $\frac{S}{h}$

m = $\frac{S}{CN}$

m= (50/√3)/5

m= 10/√3 cм

Ответ: m= 10/√3 cм

хух это было оч. долго...

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств трапеции и геометрических фигур. Давайте рассмотрим детали решения:

1. Постройте трапецию: нарисуйте горизонтальное основание и отметьте точки A и B на его концах. Из точки A проведите диагональ вверх и вправо, а из точки B проведите диагональ вверх и влево. Пусть точки пересечения диагоналей будут обозначены как C.

2. Так как диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, мы знаем, что диагонали делят друг друга пополам. Это означает, что AC = BC.

3. Одна из диагоналей равна 10, значит, AC = BC = 10 / 2 = 5.

4. Одна из диагоналей образует с основанием угол в 60°. Это означает, что треугольник ABC является равносторонним треугольником, так как угол между диагональю и основанием равен 60°, а два других угла треугольника также равны 60°.

5. Так как ABC - равносторонний треугольник, все его стороны равны. Поскольку мы уже выяснили, что AC = BC = 5, то AB тоже равно 5.

6. Средняя линия трапеции является средним арифметическим длин оснований. В данной задаче это среднее арифметическое AB и CD.

7. CD - это вторая диагональ трапеции, которую мы не знаем, но можем выразить через известные длины.

8. Для этого обратимся к прямоугольному треугольнику ACD. Мы знаем, что AD = 10 (половина диагонали) и угол CAD = 60° (половина угла между диагоналями). Мы хотим найти CD.

9. Можем использовать тригонометрию, а именно, тригонометрическую функцию синуса: sin(60°) = CD / AD. Решив это уравнение относительно CD, получим CD = AD * sin(60°).

10. Подставляем известные значения: CD = 10 * √3 / 2 = 5√3.

11. Теперь можем найти среднюю линию трапеции как среднее арифметическое AB и CD: (AB + CD) / 2 = (5 + 5√3) / 2.

Итак, средняя линия трапеции равна (5 + 5√3) / 2 ≈ 8.66.