Question

Небольшой вопрос по неравенствам. Как в них раскроется такое выражение, и почему (4-x)^2 <= 1/4 ???

Answer 1

(4-x)² ≤1/4

16-8x+x²-1/4≤0

x²-8x+63/4≤0

Найдем корни левой части. х=4±√(16-15 3/4)=4±0.5

х=4.5; х=3.5, почему? Потому что мы хотим разложить на множители квадратный трехчлен, чтобы использовать метод интервалов.

Решим неравенство (х-4.5)*(х-3.5)≤0

______3.5________4.5_________

+                     -                      +

Как расставили знаки? просто можно взять любое число из трех данных промежутков и подставить в левую часть неравенства. например. в левом первом возьмем ноль и подставим (0-4.5)*(0-3.5), минус на минус при умножении плюс.  значит, первый знак плюс... и т.д.

нас интересует знак минус. Почему? Потому что левая часть меньше нуля или равна нулю. х∈[3.5;4/5]

Почему квадратные скобки? Потому что неравенство было нестрогое. т.е. меньше нуля или равно нулю. т.е. концы отрезка вошли в ответ.

Answer 2

Давайте разберем это неравенство по шагам:

Имеем неравенство:

(4 - x)^2 ≤ 1/4

Раскроем квадрат на левой стороне:

16 - 8x + x^2 ≤ 1/4

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:

x^2 - 8x + 16 - 1/4 ≤ 0

Упростим числовую часть:

x^2 - 8x + 63/4 ≤ 0

Общий знаменатель для x^2 - 8x + 63/4 - это 4. Умножим все слагаемые на 4, чтобы избавиться от дроби:

4x^2 - 32x + 63 ≤ 0

Теперь мы имеем квадратное неравенство в стандартной форме. Мы хотим найти интервалы, в которых это неравенство выполняется. Давайте решим квадратное уравнение, которое получится при замене неравенства на равенство:

4x^2 - 32x + 63 = 0

Для решения используем квадратное уравнение и найдем его корни:

x = (8 ± √(8^2 - 4 * 4 * 63)) / (2 * 4) x = (8 ± √(64 - 1008)) / 8 x = (8 ± √(-944)) / 8

Поскольку дискриминант отрицателен (D = -944), у нас есть два комплексных корня. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней, а следовательно, неравенство x^2 - 8x + 63 ≤ 0 не выполняется ни в каких действительных числах.

Таким образом, исходное неравенство (4 - x)^2 ≤ 1/4 не имеет действительных решений, и оно не выполняется ни для каких значений x.