Question

У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник AСB, у якому АС = ВС, А(2; –5), В(4; 3). Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням (x – 3)2 + y2 + 2y = 16. Визначте площу трикутника АВС.

Answer 1

Ответ:

Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:

(х-3)2+у2+2у=16

(х-3)2+у2+2у+1=16+1

(х-3)2+(у+1)2=17.

Тоді радіус кола R= і центр кола О(3;-1). Так як (2+4):2=3, (-5+3):2=1 (виконуються формули середини відрізка АВ), то точка О - середина АВ. Тоді АВ=2R=2 і вписаний кут АСВ спирається на діаметр, тому він прямий. Отже, трикутник АВС прямокутний і рівнобедрений. Запишемо теорему Піфагора.

АС2+ВС2=АВ2.

АС2+AC2=4⋅17.

2AC2=68.

AC2=34. Так як трикутник АВС прямокутний, то його площа S=AC⋅BC:2=AC⋅AC:2=AC2:2=34:2=17.

Answer 2

Спершу давайте знайдемо координати точки C, яка є вершиною рівнобедреного трикутника ABC. Оскільки точка C лежить на колі з рівнянням, то підставимо це рівняння у координати точки C:

(x – 3)² + y² + 2y = 16

Підставляючи координати точки C (x, y) = (2, -5):

(2 – 3)² + (-5)² + 2*(-5) = 16 (-1)² + 25 - 10 = 16 1 + 25 - 10 = 16 26 - 10 = 16

Отже, точка C має координати (2, -5).

Тепер ми можемо виміряти довжини сторін трикутника AB, AC і BC за допомогою формули відстані між точками:

Довжина AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) Довжина AB = √((4 - 2)² + (3 - (-5))²) Довжина AB = √(2² + 8²) Довжина AB = √(4 + 64) Довжина AB = √68

Довжина AC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) Довжина AC = √((2 - 2)² + (-5 - (-5))²) Довжина AC = √(0² + 0²) Довжина AC = 0

Тепер ми можемо визначити площу трикутника ABC за допомогою формули площі рівнобедреного трикутника:

Площа ABC = (бічна сторона AC) * (висота, опущена на бічну сторону AB) / 2 Площа ABC = (0) * (Довжина AB) / 2 Площа ABC = 0

Отже, площа трикутника ABC дорівнює нулю.