Question

Как найти первообразную f(x)=(4x+3)^7+3?

Answer 1

$f(x)=(4x+3)^{7}+3\\F(x)=\frac{(4x+3)^{7+1} }{7+1}(4x+3)^{'}+3x+C=\frac{(4x+3)^{8}}{8}(\frac{4}{2}x^{2}+3x )+3x+C=\frac{(4x+3)^{8}(2x^{2}+3x)+24x}{8}+C$

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную функции $f(x) = (4x+3)^7 + 3$, следует воспользоваться методом интегрирования. Давайте разберемся пошагово:

1. Раскроем скобку $(4x+3)^7$, используя бином Ньютона или биномиальную формулу:

   $(4x+3)^7 = \binom{7}{0} (4x)^7 \cdot 3^0 + \binom{7}{1} (4x)^6 \cdot 3^1 + \binom{7}{2} (4x)^5 \cdot 3^2 + \ldots + \binom{7}{7} (4x)^0 \cdot 3^7$

   Это дает нам выражение вида:

   $f(x) = 4^7 x^7 + 7 \cdot 4^6 x^6 \cdot 3 + 21 \cdot 4^5 x^5 \cdot 3^2 + \ldots + 3^7$

2. Теперь интегрируем каждый член по отдельности по переменной $x$:

   $\int 4^7 x^7 \, dx + \int 7 \cdot 4^6 x^6 \cdot 3 \, dx + \int 21 \cdot 4^5 x^5 \cdot 3^2 \, dx + \ldots + \int 3^7 \, dx$

3. Интегрирование каждого члена даст нам:

   $\frac{4^7}{8} x^8 + \frac{7 \cdot 4^6}{7} x^7 \cdot 3 + \frac{21 \cdot 4^5}{6} x^6 \cdot 3^2 + \ldots + 3^7x + C$

   где $C$ — постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная для функции $f(x) = (4x+3)^7 + 3$ будет:

$F(x) = \frac{4^7}{8} x^8 + \frac{7 \cdot 4^6}{7} x^7 \cdot 3 + \frac{21 \cdot 4^5}{6} x^6 \cdot 3^2 + \ldots + 3^7x + C$