Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 3x − x^2 , y = x, и осью Ox

Answer 1

См.график

$\displaystyle S=\int\limits^3_0 {3x-x^2} \, dx-\int\limits^2_0 {3x-x^2-x} \, dx \\\\\\\int\limits^3_0 {3x-x^2} \, dx =(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3} )\mid^3_0=\frac{3*3^2}{2}-\frac{3^3}{3}-(\frac{3*0^2}{2}-\frac{0^3}{3})=\frac{9}{2}\\\\\\ \int\limits^2_0 {3x-x^2-x} \, dx=\int\limits^2_0 {2x-x^2} \, dx=(x^2-\frac{x^3}{3})\mid^2_0=2^2-\frac{2^3}{3}-(0^2-\frac{0^3}{3})=\frac{4}{3}\\\\\\ S=\frac{9}{2}-\frac{4}{3}=\frac{19}{6}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями и осью Ox, нужно найти точки пересечения этих линий и затем вычислить определенный интеграл.

Первым шагом найдем точки пересечения линий y = 3x - x^2 и y = x:

3x - x^2 = x

Переносим все члены в левую часть уравнения:

x^2 - 2x = 0

Факторизуем:

x(x - 2) = 0

Отсюда получаем две возможные точки пересечения: x = 0 и x = 2.

Теперь рассмотрим интервал от x = 0 до x = 2. Для нахождения площади под кривыми, нужно вычислить интеграл разности y = 3x - x^2 и y = x на этом интервале:

Площадь = ∫[0, 2] (3x - x^2 - x) dx

Раскроем скобки:

Площадь = ∫[0, 2] (2x - x^2) dx

Теперь проинтегрируем:

Площадь = [x^2 - (x^3)/3] от 0 до 2

Площадь = (2^2 - (2^3)/3) - (0^2 - (0^3)/3)

Площадь = (4 - 8/3) - (0 - 0)

Площадь = (12/3 - 8/3) = 4/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3x - x^2, y = x и осью Ox на интервале [0, 2], составляет 4/3 квадратных единицы.