Question

Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=x^3+6x^2+12x-3 на отрезке [0;5]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=x³+6x²+12x-3

y'=3x²+12x+12

3x²+12x+12=0

x²+4x+4=0

D=4²-4*4=0

x= (-4+0):2= -2 критическая точка не принадлежит отрезку [0;5],поэтому её в расчёт не берём.

f(0)=0³+6*0²+12*0-3= -3  наименьшее значение функции

f(5)=5³+6*5²+12*5-3= 125+150+60-3=332 наибольшее значение функции

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции $y = x^3 + 6x^2 + 12x - 3$ на отрезке $[0, 5]$, нужно найти значения функции в крайних точках этого отрезка (то есть в точках $x = 0$ и $x = 5$), а также значения в критических точках внутри этого отрезка, где производная функции равна нулю.

1. Найдем производную функции $y = x^3 + 6x^2 + 12x - 3$: $y' = 3x^2 + 12x + 12$.

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: $3x^2 + 12x + 12 = 0$.

   Решим это уравнение: $x^2 + 4x + 4 = 0$.

   $(x + 2)^2 = 0$.

   Отсюда получаем единственное значение $x = -2$.

3. Теперь найдем значения функции в крайних точках и в найденной критической точке:

   • При $x = 0$, $y = 0^3 + 6 \cdot 0^2 + 12 \cdot 0 - 3 = -3$.
   • При $x = 5$, $y = 5^3 + 6 \cdot 5^2 + 12 \cdot 5 - 3 = 197$.
   • При $x = -2$, $y = (-2)^3 + 6 \cdot (-2)^2 + 12 \cdot (-2) - 3 = -35$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[0, 5]$ равно -35, а наибольшее значение равно 197.