Question

Помогите пожалуйста! 1. Найдите корень уравнения: (½)^x+3 = 32^x 2. Найдите промежутки возрастания функции: f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 24x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, я помогу вам с этими задачами!

1. Найдем корень уравнения: $(\frac{1}{2})^x + 3 = 32^x$.

Сначала заметим, что можно представить $32$ как $2^5$. Таким образом, уравнение примет вид:

$(\frac{1}{2})^x + 3 = 2^{5x}$.

Далее, давайте избавимся от дроби в первом слагаемом, возведя $\frac{1}{2}$ в степень $5x$:

$\frac{1}{2^x} + 3 = 2^{5x}$.

Теперь приведем оба слагаемых к общему знаменателю, который равен $2^x$:

$\frac{1 + 3 \cdot 2^x}{2^x} = 2^{5x}$.

Упростим числитель:

$\frac{1 + 3 \cdot 2^x}{2^x} = 2^{5x}$.

Разделим обе стороны уравнения на $2^x$:

$1 + 3 \cdot 2^x = 2^{4x}$.

Теперь преобразуем обе стороны уравнения в одну и ту же степень:

$2^{0} + 2^{x+1} = 2^{4x}$.

Так как слева у нас есть $2^0$, то $x + 1 = 4x$.

Решим получившееся линейное уравнение:

$x + 1 = 4x$.

Вычитаем $x$ из обеих сторон:

$1 = 3x$.

Делим обе стороны на $3$:

$x = \frac{1}{3}$.

Таким образом, корень уравнения равен $x = \frac{1}{3}$.

2. Чтобы найти промежутки возрастания функции $f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 24x$, нужно найти интервалы, на которых производная функции положительна.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 6x^2 - 18x - 24$.

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует:

$6x^2 - 18x - 24 = 0$.

Решив это квадратное уравнение, получим два значения $x$:

$x = 3$ и $x = -2$.

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала, образованного найденными критическими точками и плюс и минус бесконечностью:

1. При $x < -2$ (тестовая точка, например, $x = -3$): Подставим $x = -3$ в производную: $f'(-3) = 6(-3)^2 - 18(-3) - 24 = 54 + 54 - 24 = 84 > 0$. Производная положительна, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

2. При $-2 < x < 3$ (тестовая точка, например, $x = 0$): Подставим $x = 0$ в производную: $f'(0) = 6(0)^2 - 18(0) - 24 = -24 < 0$. Производная отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале.

3. При $x > 3$ (тестовая точка, например, $x = 4$): Подставим $x = 4$ в производную: $f'(4) = 6(4)^2 - 18(4) - 24 = 96 - 72 - 24 = 0$. Производная равна нулю, следовательно, не можем сказать однозначно.

Итак, функция $f(x)$ возрастает на интервале $(-\infty, -2)$.