Question

Прошу, очень срочно!!! lim (х стремится к бесконечности) x^5-2x+4 / 2x^4+3x^2+1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим предел функции:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^5 - 2x + 4}}{{2x^4 + 3x^2 + 1}}$

Чтобы найти этот предел, давайте посмотрим на степени полиномов в числителе и знаменателе и применим правило о пределе дроби, где степени многочленов в знаменателе больше степеней в числителе:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^5 - 2x + 4}}{{2x^4 + 3x^2 + 1}} = \frac{{\lim_{{x \to \infty}} x^5}}{{\lim_{{x \to \infty}} 2x^4}}$

Поскольку $x$ стремится к бесконечности, можно игнорировать меньшие степени $x$ в числителе и знаменателе.

Выполнив вычисления, получим:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^5 - 2x + 4}}{{2x^4 + 3x^2 + 1}} = \frac{\infty}{\infty}$

Это бесконечно большое деление на бесконечно большое, что может быть неопределённостью. Для определения предела в таких случаях можно применить правило Лопиталя, которое позволяет найти предел отношения производных функций, если исходное отношение имеет неопределённость вида $\frac{\infty}{\infty}$ или $\frac{0}{0}$.

Производная числителя:

$\frac{d}{dx} (x^5 - 2x + 4) = 5x^4 - 2$

Производная знаменателя:

$\frac{d}{dx} (2x^4 + 3x^2 + 1) = 8x^3 + 6x$

Теперь мы можем снова рассмотреть предел:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{5x^4 - 2}}{{8x^3 + 6x}} = \frac{\infty}{\infty}$

Применяем правило Лопиталя снова, на этот раз беря производные от числителя и знаменателя:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{20x^3}}{{24x^2 + 6}} = \frac{\infty}{\infty}$

Продолжаем применять правило Лопиталя, пока не достигнем конечного значения:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{60x^2}}{{48x}} = \frac{\infty}{\infty}$

Опять применяем:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{120x}}{{48}} = \frac{\infty}{48} = \infty$

Таким образом, предел данной функции при $x$ стремящемся к бесконечности равен $\infty$.