Question

Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона. а) (x+2)6; б) (3x+2y)4; в) (x−4y)5.

Answer 1

1)

Треугольник Паскаля k (1) = 1, k (2) = 5, k (3) = 10, k (4) = 10, k (5) = 5, k (6) = 1

C0/5=C5/5=1

C1/5=C4/5=5!/1!4!=5

C2/5=C3/5=5!/3!2!=1*2*3*4*5/1*2*3*1*2=120/12=10

(x-1) ^5 = x^5-5x^4+10x3-10x2+5x-1

(x+1) ^7

2) Треугольник Паскаля k (1) = 1, k (2) = 7, k (3) = 21, k (4) = 35, k (5) = 35, k (6) = 21, k (7) = 7, k (8) = 1

C0/7=C7/7=1

C1/7=C6/7=7!/1!6!=7

C2/7=C5/7=7! (5!2!) = 1*2*3*4*5*6*7/1*2*3*4*5*1*2=5040/240=21

C3/7=C4/7=7!/3!2!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3*4*1*2*3=5040/144=35

x^7+7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x+1

Answer 2

Пошаговое объяснение:

а) (x+2)^6 = x^6 + 6*x^5*2 + 15*x^4*2^2 + 20*x^3*2^3 + 15*x^2*2^4 + 6*x*2^5 + 2^6 = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64

б) (3x+2y)^4 = 81x^4 + 4*27x^3*2y + 6*9x^2*4y^2 + 4*3x*8y^3 + 16y^4 = 81x^4 + 216x^3*y + 216x^2*y^2 + 96x*y^3 + 16y^4

в) (x−4y)^5 = x^5 - 5x^4*4y + 10x^3*16y^2 - 10x^2*64y^3 + 5x*256y^4 - 1044y^5 = x^5 - 20x^4*y + 160x^3*y^2 - 640x^2*y^3 + 1280x*y^4 - 1024y^5

Answer 3

Бином Ньютона - это формула, которая позволяет раскладывать степени биномов в виде многочлена. Формула выглядит следующим образом:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$,

где $n$ - степень бинома, $a$ и $b$ - коэффициенты, а $\binom{n}{k}$ обозначает биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Давайте разложим данные двучлены с помощью бинома Ньютона:

а) $(x + 2)^6$:

Здесь $n = 6$, $a = x$ и $b = 2$. Подставляя значения в формулу, получим:

$(x + 2)^6 = \binom{6}{0} x^6 + \binom{6}{1} x^5 \cdot 2 + \binom{6}{2} x^4 \cdot 2^2 + \binom{6}{3} x^3 \cdot 2^3 + \binom{6}{4} x^2 \cdot 2^4 + \binom{6}{5} x \cdot 2^5 + \binom{6}{6} 2^6$.

Теперь подставим биномиальные коэффициенты и упростим:

$(x + 2)^6 = x^6 + 12x^5 + 48x^4 + 96x^3 + 96x^2 + 64x + 64$.

б) $(3x + 2y)^4$:

Здесь $n = 4$, $a = 3x$ и $b = 2y$. Подставляя значения в формулу, получим:

$(3x + 2y)^4 = \binom{4}{0} (3x)^4 + \binom{4}{1} (3x)^3 \cdot (2y) + \binom{4}{2} (3x)^2 \cdot (2y)^2 + \binom{4}{3} (3x) \cdot (2y)^3 + \binom{4}{4} (2y)^4$.

Упростим:

$(3x + 2y)^4 = 81x^4 + 216x^3y + 216x^2y^2 + 96xy^3 + 16y^4$.

в) $(x - 4y)^5$:

Здесь $n = 5$, $a = x$ и $b = -4y$. Подставляя значения в формулу, получим:

$(x - 4y)^5 = \binom{5}{0} x^5 + \binom{5}{1} x^4 \cdot (-4y) + \binom{5}{2} x^3 \cdot (-4y)^2 + \binom{5}{3} x^2 \cdot (-4y)^3 + \binom{5}{4} x \cdot (-4y)^4 + \binom{5}{5} (-4y)^5$