Question

Образующая конуса 16 см, наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите площадь основания.

Answer 1

Ответ:

64π cm²

Пошаговое объяснение:

Решение на фото...

Answer 2

Давайте обозначим через $r$ радиус основания конуса, через $h$ его высоту, и через $l$ образующую конуса.

Мы знаем, что образующая конуса $l = 16$ см, а угол между образующей и плоскостью основания $60^\circ$.

Так как нам дан угол между образующей и плоскостью основания, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы выразить высоту $h$ через образующую $l$:

$\cos(60^\circ) = \frac{h}{l}.$

Решая это уравнение относительно $h$, получаем:

$h = l \cdot \cos(60^\circ).$

Значение $\cos(60^\circ)$ равно $0.5$, так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставляя $l = 16$ см, получаем:

Площадь основания \(A\) конуса можно выразить через радиус основания \(r\): \[A = \pi r^2.\] Для нахождения радиуса \(r\), мы можем использовать тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике, где \(r\) — это катет, а \(h\) — это другой катет. Так как \(h = 8\) см, мы можем найти \(r\) по теореме Пифагора: \[r^2 = l^2 - h^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192.\] Теперь найдем \(r\): \[r = \sqrt{192} \approx 13.86\) см. Итак, площадь основания конуса: \[A = \pi r^2 \approx 3.1416 \cdot (13.86)^2 \approx 760.25\) квадратных сантиметров.