Question

Помогите, пожалуйста решить задачу, 100 [50] баллов! Заранее спасибо! В строке шестизначных чисел первое число , последнее . Соседние числа отличаются на 1 или на 1000. Но ни одно число не делится на 1000. Докажите, что хотя бы одно число делится на 13. ( Тема: Дискретная Непрерывность. )

Answer 1

Число вида abcabc (где a, b и c - цифры) делится на 1001, значит, делится и на 13. Докажем, что в строке найдётся число такого вида. Так как в строке нет ни одного числа, делящегося на 1000, нам нельзя вычитать 1 из числа, оканчивающегося на "001" или прибавлять 1 к числу, оканчивающемуся на "999". Значит, прибавляя или отнимая 1, мы можем влиять только на последние три цифры числа. Очевидно замечаем, что прибавление или вычитание 1000 не влияет на последние три цифры числа. Отделим их (последние три цифры) от числа. Они должны из "456" стать равны "321", а первые три цифры числа должны из "123" стать равны "654". Так как каждое следующее число отличается от предыдущего прибавлением или отниманием 1 к одной из его частей, то, так как диапазон одной из частей конечного числа лежит внутри другого, по дискретной непрерывности найдётся в ряду число нужного вида. Оно и делится на 13.

Answer 2

Давайте рассмотрим несколько случаев для последовательности шестизначных чисел, которые соответствуют условиям задачи.

1. Пусть последовательность состоит из одинаковых чисел, например, 111111. В этом случае, очевидно, что хотя бы одно из чисел делится на 13 (например, само число 111111).

2. Пусть числа последовательности увеличиваются на 1, начиная с некоторого числа A (A, A+1, A+2, ..., A+5). В этом случае, поскольку 1000 не делится на 13, то ни одно из чисел A, A+1, ..., A+5 не делится на 13. Однако, сумма этих шести чисел равна 6A + 15, что делится на 13 (6A делится на 13, и 15 делится на 13, так как 15 = 13 + 2). Таким образом, хотя бы одна из шести соседних чисел делится на 13.

3. Пусть числа последовательности увеличиваются на 1000, начиная с некоторого числа B (B, B+1000, B+2000, ..., B+5000). Аналогично, сумма этих шести чисел равна 6B + 15000, что также делится на 13 (6B делится на 13, и 15000 = 13 * 1153 + 1). Следовательно, хотя бы одно из этих шести чисел делится на 13.

Из этих трех случаев следует, что в любой последовательности, где первое и последнее числа фиксированы, и соседние числа отличаются на 1 или на 1000, хотя бы одно число обязательно делится на 13.