Question

1. Решить неравенство: log0,2(4х+9)+log5(9−x^2)+sin⁡(3,5пи)<0

Answer 1

................................

Answer 2

Давайте решим это неравенство шаг за шагом. Начнем с логарифмических членов:

1. log₀.₂(4х + 9) + log₅(9 − x²) + sin(3.5π) < 0

2. log₀.₂(4х + 9) + log₅(9 − x²) - 1 < 0 (так как sin(3.5π) = 0)

Теперь объединим логарифмические члены с помощью правила суммы логарифмов:

3. log₀.₂((4х + 9) * 5^(log₅(9 − x²))) - 1 < 0

4. log₀.₂(4х + 9) + log₀.₂(9 − x²) - 1 < 0 (потому что 5^(log₅(9 − x²)) = 9 − x²)

Теперь мы можем избавиться от логарифмов, возводя обе стороны неравенства в основание 0.₂:

5. (4х + 9) * (9 − x²) < 0.₂^(1 + 1) (потому что 0.₂^1 = 0.₂)

6. (4х + 9) * (9 − x²) < 0.04

Раскроем скобки:

7. 36х - 4х³ + 81 - 9x² < 0.04

8. -4х³ - 9x² + 36х + 81 - 0.04 < 0

9. -4х³ - 9x² + 36х + 80.96 < 0

Теперь нам нужно решить это кубическое неравенство. Для начала можно заметить, что х = 0 является корнем уравнения (подставьте х = 0 и убедитесь в этом). Поскольку коэффициенты у неравенства целые числа, мы можем попробовать деление синтетическим делением:

Попробуем делить -4х³ - 9x² + 36х + 80.96 на (х - 1):

-4 | -4 - 9 36 80.96 | 4 - 4 0 -36 ________________ 0 - 13 36 44.96

Таким образом, у нас есть разложение:

-4х³ - 9x² + 36х + 80.96 = (х - 1)(-4х² - 13x + 44.96)

Далее, нам нужно решить квадратное неравенство -4х² - 13x + 44.96 < 0. Как показатель, все коэффициенты квадратного члена отрицательны, поэтому у нас будет "вогнутый вниз" парабола. Это означает, что наша функция будет отрицательной между её корнями. Таким образом, нам нужно найти интервалы, где она меньше нуля.

Для этого найдем корни квадратного уравнения:

-4х² - 13x + 44.96 = 0

Решение этого квадратного уравнения дает два корня, скажем, х₁ и х₂. Мы можем построить таблицу интервалов:

	-∞	х₁	х₂	+∞
-4х² - 13x + 44.96	-	+	-	+

Таким образом, на интервалах (х₁, х₂) и (-∞, х₁) функция -4х² - 13x + 44.96 < 0.

Исходя из этого, для исходного кубического неравенства -4х³ - 9x² + 36х + 80.96 < 0, решения находятся в интервалах (х₁, х₂) и (-∞, х₁).

Пожалуйста, обратите внимание, что это довольно сложный процесс, и я рекомендую также использовать графический способ (например, с помощью графиков или программ для численного анализа), чтобы подтвердить результаты и получить более точное представление о решении этого неравенства.