Question

Найдите промежутки возрастания функции f (x) = 2x^3 + 12x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для найти промежутки возрастания функции $f(x) = 2x^3 + 12x^2$, мы должны найти интервалы значений $x$, на которых производная функции положительна.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^3 + 12x^2)$ Производная: $f'(x) = 6x^2 + 24x$

2. Теперь найдем значения $x$, для которых $f'(x) > 0$: $6x^2 + 24x > 0$ $6x(x + 4) > 0$

Знак производной зависит от знака $6x$ и $x + 4$. Так как умножение двух чисел с одинаковыми знаками дает положительное число, нам нужно рассмотреть два случая:

• $6x > 0$ и $x + 4 > 0$ (оба множителя положительны).
• $6x < 0$ и $x + 4 < 0$ (оба множителя отрицательны).

Решим каждое уравнение независимо:

Первый случай: $6x > 0$ => $x > 0$ $x + 4 > 0$ => $x > -4$

Значит, для первого случая интервал возрастания: $x > 0$.

Второй случай: $6x < 0$ => $x < 0$ $x + 4 < 0$ => $x < -4$

Значит, для второго случая интервал возрастания: $x < -4$.

Итак, функция $f(x) = 2x^3 + 12x^2$ возрастает на интервалах $(- \infty, -4)$ и $(0, +\infty)$.