Question

Записать общее решение дифференциального уравнения y'+y=x^3*e^-x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Дифференциальное уравнение, которое вы предоставили, выглядит как:

y' + y = x^3 * e^(-x)

Для его решения можно использовать метод вариации постоянной. Общий шаг-за-шагом процесс решения выглядит следующим образом:

1. Запишем соответствующее однородное уравнение: y' + y = 0. Его общее решение имеет вид y_h(x) = C * e^(-x), где C - произвольная постоянная.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = A * x^3 * e^(-x), где A - некоторая константа, которую нужно определить.

3. Вычислим производные частного решения: y_p' = A * (3 * x^2 * e^(-x) - x^3 * e^(-x)) y_p'' = A * (6 * x * e^(-x) - 6 * x^2 * e^(-x) + x^3 * e^(-x))

4. Подставим найденные значения исходного уравнения: y_p' + y_p = x^3 * e^(-x): A * (3 * x^2 * e^(-x) - x^3 * e^(-x)) + A * x^3 * e^(-x) = x^3 * e^(-x)

5. Упростим уравнение: 3 * A * x^2 * e^(-x) = 0

6. Отсюда следует, что A = 0, так как умножение на x^2 не может обратить этот коэффициент в ненулевой результат.

Итак, частное решение неоднородного уравнения y_p(x) = 0. Общее решение данного уравнения составляется как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C * e^(-x) + 0 = C * e^(-x), где C - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения y' + y = x^3 * e^(-x) выглядит как y(x) = C * e^(-x), где C - произвольная постоянная.