Question

Исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, точки экстремума: f(x)=2x^6-5x^ СРОЧНО!!

Answer 1

Во вложении..........

Answer 2

Алгоритм.

1. найдем производную функции  f'(x)=(2x⁶-5x⁴)'=12x⁵-20x³=

4x³(3x²-5)

2. Найдем критические точки. 4x³(3x²-5)=0, х=0; 3х²=5; х=±√(5/3)

3. Решим неравенство 4x³(3x²-5)≥0, установив промежутки возрастания  и убывания.

____-√(5/3)_______0_______√(5/3)______

-                       +               -                      +      

функция убывает при     х∈   (-∞;-√(5/3)] и при х∈ [0;√(5/3)]

функция возрастает при х∈[-√(5/3);0]  и при х∈   [√(5/3);+∞)

х= -√(5/3); х=√(5/3) -точки минимума, т.к. при переходе через них производная меняет знак с минуса на плюс.

х=0- точка максимума, т.к. при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус.

Answer 3

Кажется, в вашей функции произошла ошибка в записи второго слагаемого. Возможно, вы имели в виду функцию f(x) = 2x^6 - 5x^2. Пожалуйста, подтвердите правильность записи второго слагаемого.

Если функция действительно имеет вид f(x) = 2x^6 - 5x^2, то давайте проанализируем её на промежутки возрастания и убывания, а также найдем точки экстремума.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (2x^6 - 5x^2) = 12x^5 - 10x

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: 12x^5 - 10x = 0 2x(6x^4 - 5) = 0

   Из этого уравнения следует, что x = 0 или x^4 = 5/6. Однако x^4 = 5/6 не имеет действительных решений, так как четвертый корень из положительного числа 5/6 будет комплексным числом. Поэтому у нас есть только одна критическая точка: x = 0.

3. Исследуем знак производной на интервалах:

   • Если x < 0, то производная f'(x) < 0 (положительное число умножается на отрицательное), следовательно, функция убывает на этом интервале.
   • Если 0 < x < 1/√6 (приближенно 0.408), то производная f'(x) > 0 (положительное число умножается на положительное), значит, функция возрастает на этом интервале.
   • Если x > 1/√6, то производная f'(x) < 0 (положительное число умножается на положительное), так что функция убывает на этом интервале.

Итак, у нас есть:

• Промежуток возрастания: (0, 1/√6)
• Промежутки убывания: (-∞, 0) и (1/√6, +∞)

4. Точки экстремума: Мы уже нашли, что единственная критическая точка это x = 0. Поскольку на интервале (0, 1/√6) функция возрастает, а на интервале (-∞, 0) и (1/√6, +∞) функция убывает, то x = 0 является точкой локального минимума.

Итак, у функции f(x) = 2x^6 - 5x^2 есть точка локального минимума в точке x = 0, и она убывает на интервалах (-∞, 0) и (1/√6, +∞), а возрастает на интервале (0, 1/√6).