Question

Решить неравенство: 5^х + 125 * 5^-x = 30

Answer 1

Ответ:

$5^{x}+125*5^{-x} =30$

$5^{x}+125*\frac{1}{5^{x} } =30$

Замена $t=5^{x}$

$t+125*\frac{1}{t} =30$

После решения этого уравнения через дискриминант, получаем:

$t=25\\t=5$

Обратная замена:

$5^{x}=25$

$5^{x}=5$

$x=2\\x=1$

Ответ:$x_{1}=1 ; x_{2}=2$

Answer 2

Ответ:

2 ; 1

Пошаговое объяснение:

$5^x+125*5^{-x}=30\\5^x+125*\frac{1}{5^x} =30$

Пусть 5ˣ=t, тогда :

t+125*1/t=30

t+125/t=30    одз:

                           t≠0

Домножаем на t:

t²+125=30t

t²+125-30t=0

t²-30t+125=0

D=900-500=400

√400=20

x=(30±20)/2= 25 ; 5

Обратная замена:

5ˣ=25      5ˣ=5  

5ˣ=5²       5ˣ=5¹

x₁=2          x₂=1  

Все корни подходят.

Answer 3

Данное неравенство содержит экспоненты, и для его решения мы можем воспользоваться заменой переменной. Пусть $y = 5^x$, тогда $y^{-1} = 5^{-x}$. Теперь мы можем переписать уравнение в терминах переменной $y$:

$y + \frac{125}{y} = 30$

Умножим обе стороны на $y$ для того, чтобы избавиться от дроби:

$y^2 + 125 = 30y$

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:

$y^2 - 30y + 125 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного трёхчлена или дискриминанта:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 125 = 900 - 500 = 400$.

Так как $D > 0$, у нас есть два действительных корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 + 20}{2} = 25$ $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 - 20}{2} = 5$

Теперь мы должны вернуться к переменной $x$:

$y = 5^x$

Для $y_1 = 25$: $5^x = 25 \Rightarrow x = 2$

Для $y_2 = 5$: $5^x = 5 \Rightarrow x = 1$

Таким образом, уравнение имеет два решения: $x = 1$ и $x = 2$.