Question

Найти условный экстримум функции u(x;y) при заданном уравнении связи u(x;y)=x+y^2-xy при x+2y=4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:в приложении

Answer 2

Для нахождения условных экстремумов функции u(x, y) = x + y^2 - xy при заданном уравнении связи x + 2y = 4, мы можем использовать метод множителей Лагранжа. Этот метод позволяет найти точки, в которых функция имеет локальные минимумы или максимумы с учетом заданных условий.

1. Сначала запишем функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = x + y^2 - xy + λ(4 - x - 2y)

где λ - множитель Лагранжа.

2. Выпишем систему уравнений, равных нулю и производных функции Лагранжа по x, y и λ:

∂L/∂x = 1 - y - λ = 0 ∂L/∂y = 2y - x - 2λ = 0 ∂L/∂λ = 4 - x - 2y = 0 (условие связи)

3. Решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения получаем: λ = 1 - y Подставим λ во второе уравнение: 2y - x - 2(1 - y) = 0 Упростим: 2y - x - 2 + 2y = 0 Сократим: 4y - x - 2 = 0

Теперь у нас есть система уравнений: 4y - x - 2 = 0 4 - x - 2y = 0

4. Решим эту систему уравнений для x и y:

Из второго уравнения получаем: x = 4 - 2y Подставляем x в первое уравнение: 4y - (4 - 2y) - 2 = 0 Упростим: 4y - 4 + 2y - 2 = 0 Сократим: 6y = 6 y = 1

Подставляем значение y в уравнение для x: x = 4 - 2 * 1 = 2

Таким образом, найденные значения x и y удовлетворяют условиям связи.

5. Теперь найдем значение функции u(x, y) в найденных точках:

u(2, 1) = 2 + 1^2 - 2 * 1 = 2 + 1 - 2 = 1

Итак, функция u(x, y) имеет условный экстремум в точке (x, y) = (2, 1) при условии x + 2y = 4, и это минимум со значением u = 1.