Question

Определить координаты точки, симметричной точке M (2, −5) от- носительно прямой 2x + 8y − 15 = 0.

Answer 1

координаты симметричной точки лежат на прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку М

тогда вид перпендикулярной прямой будет 8x-2y+c=0

(так как 2*8+8*(-2)=0-скалярное произведение их нормалей должно быть 0)

подставлю М

8*2-2*(-5)+c=0

c=-26

8x-2y-26=0-уравнение перпендикулярной прямой

теперь найду координаты точки пересечения О и отложу такое же расстояние от О в другую сторону

для этого решу систему

2x+8y-15=0  и 8x-2y-26=0

из второго y=4x-13 и в первое

2x+8(4x-13)-15=0

34x=119

x=3.5

тогда координата искомой точки  M1 по х равна 3.5+(3.5-2)=5

чтобы найти координату M1 по у . подставлю х=5 в уравнение y=4x-13

y=4*5-13=7

M1(5;7)

Answer 2

Чтобы найти координаты точки, симметричной точке M(2, -5) относительно заданной прямой 2x + 8y - 15 = 0, мы можем воспользоваться следующим подходом:

1. Найдем уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой 2x + 8y - 15 = 0 и проходящей через точку M(2, -5).
2. Найдем точку пересечения этой перпендикулярной прямой с исходной прямой 2x + 8y - 15 = 0.
3. Рассчитаем расстояние между точкой M и найденной точкой пересечения.
4. Точка, симметричная M относительно прямой, будет лежать на той же линии, что и найденная точка пересечения, и иметь то же расстояние от нее, что и M.

Шаги 1 и 2:

Уравнение данной прямой: 2x + 8y - 15 = 0 Ее нормальный вектор: (2, 8)

Нормальный вектор перпендикулярной прямой будет: (-8, 2), так как скалярное произведение нормальных векторов перпендикулярных прямых равно 0: (2 * -8) + (8 * 2) = 0.

Теперь у нас есть уравнение прямой, проходящей через точку M(2, -5) и имеющей нормальный вектор (-8, 2):

y - (-5) = (2/8)(x - 2) y + 5 = (1/4)(x - 2) 4y + 20 = x - 2 x = 4y + 22

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с исходной прямой 2x + 8y - 15 = 0, подставив x из выражения выше:

2(4y + 22) + 8y - 15 = 0 8y + 44 + 8y - 15 = 0 16y + 29 = 0 16y = -29 y = -29/16

Подставив y в уравнение x = 4y + 22:

x = 4 * (-29/16) + 22 x = -116/16 + 352/16 x = 236/16 x = 59/4

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты (59/4, -29/16).

Шаг 3:

Расстояние между точкой M(2, -5) и точкой пересечения (59/4, -29/16) можно рассчитать с помощью формулы расстояния между двумя точками:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

d = √((59/4 - 2)^2 + (-29/16 - (-5))^2) d = √((59/4 - 8/4)^2 + (-29/16 + 80/16)^2) d = √((51/4)^2 + (51/16)^2) d = √((2601/16) + (2601/256)) d = √((2601*256 + 2601) / 256) d = √(665856 / 256) d = √2601 d = 51

Шаг 4:

Теперь мы знаем, что точка, симметричная M(2, -5) относительно прямой, будет иметь то же расстояние от точки пересечения (59/4, -29/16), что и M. Расстояние равно 51. Следовательно, координаты точки симметричной M будут на расстоянии 51 от точки пересечения в том же направлении. Мы можем использовать найденные нормальные векторы для этого:

x = 59/4 + 51 * (-8) x = 59/4 - 408/4 x = -349/4

y = -29/16 + 51 * 2 y = -29/16 + 102/16 y = 73/16

Итак, координаты точки, симметричной M(2, -5) относительно прямой 2x + 8y - 15 = 0, равны (-349/4, 73/16).