Question

Решите ДУ: y''tgx=y'+1 Действия и решение подробно расписать

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит так:

$y''\tan(x) = y' + 1$

Где $y''$ обозначает вторую производную функции $y$ по переменной $x$, а $y'$ - первую производную. Для решения этого уравнения, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Введем замену переменных. Обозначим $y'$ как $p$:

$p = y'$

Теперь можем переписать уравнение:

$p \tan(x) = p + 1$

Шаг 2: Решим это уравнение относительно $p$:

$p \tan(x) = p + 1$

$p \tan(x) - p = 1$

$p (\tan(x) - 1) = 1$

$p = \frac{1}{\tan(x) - 1}$

Шаг 3: Теперь найдем первую производную $y'$ с учетом выражения для $p$:

$y' = \frac{1}{\tan(x) - 1}$

Шаг 4: Теперь найдем вторую производную $y''$:

$y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\tan(x) - 1} \right)$

Для упрощения вычислений, преобразуем $\tan(x) - 1$ в более удобную форму:

$\tan(x) - 1 = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{\cos(x)}{\cos(x)} = \frac{\sin(x) - \cos(x)}{\cos(x)}$

$y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\frac{\sin(x) - \cos(x)}{\cos(x)}} \right)$

$y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{\cos(x)}{\sin(x) - \cos(x)} \right)$

Шаг 5: Дифференцируем это выражение:

$y'' = \frac{-(\sin(x) - \cos(x))\cos(x) - \cos(x)(-\cos(x))}{(\sin(x) - \cos(x))^2}$

$y'' = \frac{-\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) + \cos^2(x)}{(\sin(x) - \cos(x))^2}$

$y'' = \frac{2\cos^2(x) - \sin(x)\cos(x)}{(\sin(x) - \cos(x))^2}$

Шаг 6: Теперь подставим значения $y'$ и $y''$ в исходное уравнение:

$y''\tan(x) = y' + 1$

$\frac{2{\cos }^2(x)-\sin (x)\cos (x)}{(\sin (x)-\cos (x){)}^2}$