Question

В центре О ромба, периметр которого равен 40 см, а диагонали относятся как 3:4 построен перпендикуляр ОМ=8 см к его плоскости. Найти растояние от точки М до вершин ромба.

Answer 1

Центр ромба - это точка пересечения его диагоналей.

Найдем сторону a ромба (у ромба все стороны равны):

a = P/4 = 40см/4 = 10см.

Пусть диагонали ромба d₁ и d₂.

По условию d₁/d₂ = 3/4.

d₁ = 3t,

d₂ = 4t.

Диагонали ромба перпендикулярны друг другу и точкой пересечения делятся пополам. Тогда по т. Пифагора для ΔAOB имеем

a² = (d₁/2)² + (d₂/2)² = (3t/2)² + (4t/2)² = (9t²/4) + (16t²/4) = 25t²/4,

(10см)² = 100см²= 25t²/4,

t² = 100·4/25 см² = 4² см²,

$t = \sqrt{4^2} = 4$ см.

d₁ = 3·4 = 12 см

d₂ = 4·4 = 16 см.

Найдём расстояния от точки M до вершин ромба. По т. Пифагора для

ΔMOA имеем

AM² = MO² + (d₂/2)² = (8см)² + (16см/2)² = (64 + 64) см² = 64·2 см²

$AM = \sqrt{64\cdot 2} = 8\cdot\sqrt{2}$ см.

По т. Пифагора для ΔMOB имеем:

MB² = MO² + (d₁/2)² = (8см)² + (12см/2)² = (64 + 36) см² = 100 см²

$MB = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ. $8\cdot\sqrt{2}$ см, 10 см.

Answer 2

Пусть точка O - это центр ромба, а точка M - точка, через которую проведен перпендикуляр к плоскости ромба. Дано, что ОМ = 8 см.

Давайте обозначим диагонали ромба следующим образом: Д1 = 3x (где x - общий множитель) Д2 = 4x

Из условия задачи известно, что периметр ромба равен 40 см: Периметр = 4 * сторона = 40 Сторона = 40 / 4 = 10 см

Рассмотрим треугольник ОМВ (где В - одна из вершин ромба). Так как ОМ - это высота ромба, то треугольник ОМВ прямоугольный.

Мы знаем, что сторона ромба равна 10 см, а гипотенуза треугольника ОМВ равна половине диагонали (половина диагонали это половина диагонали плюс половина диагонали, соединяющей две вершины ромба), то есть 4x.

Используем теорему Пифагора для треугольника ОМВ:

(ОВ)^2 = (ОМ)^2 + (ВМ)^2 (4x)^2 = (8)^2 + (ВМ)^2 16x^2 = 64 + (ВМ)^2 (ВМ)^2 = 16x^2 - 64 (ВМ)^2 = 16(x^2 - 4)

Теперь выразим x через длину диагонали Д1:

(Д1)^2 = (10)^2 + (4x)^2 9x^2 = 100 x^2 = 100 / 9 x = 10 / 3

Подставим значение x обратно в уравнение для (ВМ)^2:

(ВМ)^2 = 16((10/3)^2 - 4) (ВМ)^2 = 16(100/9 - 4) (ВМ)^2 = 16(100/9 - 36/9) (ВМ)^2 = 16(64/9) (ВМ)^2 = 1024/9

ВМ = √(1024/9) ВМ = 32/3

Таким образом, расстояние от точки M до вершин ромба составляет 32/3 см.