Question

Найдите промежутки убывания функции y = 2x3– 15x2 +36x и укажите точку максимума.

Answer 1

y' = 6x²-30x+36 = 6*(x²-5x+6)

x²-5x+6 = 0

D = 25-4*6 = 1

X1 = (5-1)/2 = 2

X2 = (5+1)/2 = 3

2 - точка максимума

промежуток убывания: [2;3]

Answer 2

Чтобы найти промежутки убывания функции y = 2x^3 – 15x^2 + 36x, нужно проанализировать её производную и изучить знаки этой производной на различных интервалах. Точка максимума будет находиться в том месте, где производная меняет знак с отрицательного на положительный.

1. Найдем производную функции: y' = 6x^2 - 30x + 36.

2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки: 6x^2 - 30x + 36 = 0.

   Для удобства, разделим все члены на 6: x^2 - 5x + 6 = 0.

   Теперь решим это квадратное уравнение: (x - 3)(x - 2) = 0.

   Имеем два корня: x = 3 и x = 2.

3. Теперь посмотрим знаки производной на интервалах, образованных этими критическими точками и крайними значениями: a) Когда x < 2, подставим x = 0 в y': y'(0) = 6(0)^2 - 30(0) + 36 = 36 > 0.

   b) Когда 2 < x < 3, подставим x = 2.5 в y': y'(2.5) = 6(2.5)^2 - 30(2.5) + 36 = -6.25 < 0.

   c) Когда x > 3, подставим x = 4 в y': y'(4) = 6(4)^2 - 30(4) + 36 = 36 > 0.

Итак, функция убывает на интервалах (2, 3). Теперь мы знаем, что максимум будет находиться в этом интервале.

Чтобы найти точку максимума, нужно рассмотреть значения функции в критических точках и на концах интервала:

• В x = 2: y(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) = 16 - 60 + 72 = 28.
• В x = 3: y(3) = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) = 54 - 135 + 108 = 27.

Таким образом, точка максимума находится в точке (2, 28), где функция достигает максимального значения 28.