Question

К числу прибавляют сумму его цифр, к полученному числу опять прибавляют сумму его цифр и т.д ( 8 = > 16 => 23 => 28 => 38 ..). Может ли в результате такой операции получиться число записанное одними 5 (555..55), одними 8 (888...88) , где количество цифр больше 3?

Answer 1

Для каждой цифры A (A≠0) число $\overline{AA...A}$ из 11 цифр делится на A, причем $\overline{AA...A}=A*\underbrace{11...1}_{11}$

Тогда Возьмем число $\overline{AA...A}*100$ - оно оканчивается на 2 нуля. Сумма цифр такого числа равна $11A=\overline{AA}$ . Тогда сумма исходного числа и его суммы цифр равна $\overline{\underbrace{AA...A}_{11}00}+\overline{AA}=\overline{\underbrace{AA...AAA}_{13}}$ - получено число, удовлетворяющее условию задачи.

Ответ: да, может

Answer 2

Давайте рассмотрим данную операцию для числа 8:

8 → 8 + 8 = 16 → 16 + 1 + 6 = 23 → 23 + 2 + 3 = 28 → ...

При каждой операции мы прибавляем сумму цифр числа к самому числу. Теперь давайте рассмотрим, как ведут себя числа 5 и 8 при таких операциях:

Для числа 5: 5 → 5 + 5 = 10 → 10 + 1 + 0 = 11 → 11 + 1 + 1 = 13 → ...

Для числа 8: 8 → 8 + 8 = 16 → 16 + 1 + 6 = 23 → 23 + 2 + 3 = 28 → ...

После анализа нескольких шагов, мы видим, что ни для числа 5, ни для числа 8 операция прибавления суммы цифр не приводит к числам, записанным одними 5 или одними 8. В данной последовательности операций числа могут увеличиваться, но они не будут иметь форму "555...55" или "888...88", где количество цифр больше 3.

Это связано с тем, что прибавление суммы цифр числа на каждом шаге может изменить его величину, но оно не может изменить структуру числа на такую, которая состоит только из одной цифры, повторяющейся несколько раз.