Question

Определение Определённый интеграл и его геометрический смысл

Answer 1

Ответ:

Определённый интеграл является числом, равным пределу интегральных сумм.

Геометрический смысл определённого интеграла : опрелеленный интеграл численно равен площади фигуры , ограниченной осью абцисс (Ох), прямыми х=а и х=b и графиком функции у= f(x).

Answer 2

Определённый интеграл - это математический объект, который используется для вычисления площади (или других величин) под кривой в заданном интервале. Геометрический смысл определённого интеграла связан с нахождением площади между графиком функции и осью абсцисс (горизонтальной осью) на определенном интервале.

Вот формальное определение определённого интеграла:

Пусть у вас есть функция f(x), заданная на некотором интервале [a, b]. Определённый интеграл от f(x) на этом интервале обозначается как ∫[a, b] f(x) dx и вычисляется следующим образом:

1. Разбейте интервал [a, b] на бесконечно малые части, используя бесконечно много точек разделения. Обычно это делается с помощью пределов исчисления.

2. Для каждого бесконечно малого отрезка [x, x + dx] найдите значение функции f(x) в этой точке.

3. Умножьте значение f(x) на длину бесконечно малого отрезка dx. Это даст вам элементарную площадь под кривой в точке x.

4. Пройдитесь по всем бесконечно малым отрезкам на интервале [a, b], умножая значение функции на соответствующую длину dx и суммируя их все вместе.

5. В пределе, когда бесконечно малые отрезки становятся бесконечно малыми и количество их уходит в бесконечность, вы получаете определённый интеграл ∫[a, b] f(x) dx.

Геометрический смысл этого процесса заключается в том, что вы находите площадь между графиком функции f(x) и осью абсцисс на интервале [a, b]. Если f(x) положительна на этом интервале, то определённый интеграл представляет собой площадь над кривой, а если f(x) отрицательна, то интеграл представляет собой площадь под кривой. Если f(x) меняется знаки на интервале, то определённый интеграл учитывает разность между площадью над кривой и площадью под кривой.

Таким образом, определённый интеграл позволяет формально вычислять площади и другие величины, связанные с криволинейными объектами, используя методы дифференциального исчисления и пределов.