Question

Как можно решить методом рационализации неравенство (㏒2 x -1) (㏒2 x +1) < 0? Прошу подробное объяснение

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$(log_2x-1)*(log_2x+1)$

ОДЗ: x>0.

$log_2^2-1$

Answer 2

Чтобы решить неравенство (㏒2 x - 1)(㏒2 x + 1) < 0 методом рационализации, мы можем использовать свойства логарифмов и знание о том, как меняется знак произведения при разных значениях его множителей.

1. Начнем с анализа множителей: (㏒2 x - 1) и (㏒2 x + 1).

2. Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны:

   (㏒2 x - 1) > 0 и (㏒2 x + 1) > 0.

   Это возможно, когда x > 2 и x > 1 (так как логарифм от числа больше 1 всегда положителен).

3. Теперь рассмотрим случай, когда оба множителя отрицательны:

   (㏒2 x - 1) < 0 и (㏒2 x + 1) < 0.

   Это возможно, когда 0 < x < 1.

4. Наконец, рассмотрим случай, когда один множитель положителен, а другой отрицателен:

   (㏒2 x - 1) > 0 и (㏒2 x + 1) < 0 или (㏒2 x - 1) < 0 и (㏒2 x + 1) > 0.

   Здесь нам потребуется разбить каждое из этих неравенств на два подслучая и найти интервалы значений x, удовлетворяющие данным условиям.

   a) (㏒2 x - 1) > 0 и (㏒2 x + 1) < 0:

   • (㏒2 x - 1) > 0: x > 2.
   • (㏒2 x + 1) < 0: -1 < x < 0.

   Но так как первое неравенство противоречит второму, нет значений x, которые бы удовлетворяли обоим условиям одновременно.

   b) (㏒2 x - 1) < 0 и (㏒2 x + 1) > 0:

   • (㏒2 x - 1) < 0: 0 < x < 1.
   • (㏒2 x + 1) > 0: x > 0.

   Здесь условия согласуются при 0 < x < 1.

Таким образом, неравенство (㏒2 x - 1)(㏒2 x + 1) < 0 выполняется на интервале 0 < x < 1.