Question

В учебной группе 12 школьников. Каждый день двое из них дежурят. Через 11 дней оказалось, что никакая пара школьников не дежурила дважды. Какое наибольшее количество школьников могло ни разу не подежурить за эту неделю?

Answer 1

Решение на фото..........

Answer 2

Ответ:

6

Пошаговое объяснение:

Пусть x — школьники (не дежурили). Тогда ответ: число 12 - x. Тк оно должно быть максимальным, x должен быть минимальным. Нужно подобрать x, при котором из числа людей можно составить не менее 11 пар.

уравнение — это парабола с вершиной в точке x = 0,5. Ветви направлены вверх, значит, при x ≥ 0,5 функция возрастает. Заметим, при x = 5 кол-во пар равно 10, а при x = 6 — 15. Значит, не менее 6 школьников, чтобы было не менее 11 пар. Ни разу не дежурило 12 - 6 = 6 человек.

Answer 3

Предположим, что некоторое количество школьников ни разу не дежурило. Пусть это количество равно $x$. Тогда осталось $12 - x$ школьников, которые подежурили хотя бы раз.

Если ни одна пара школьников не дежурила дважды, то за 11 дней всего было $11 \cdot 2 = 22$ дежурства. Это означает, что всего было $22$ пары дежурств.

Теперь давайте рассмотрим, сколько пар дежурств может приходиться на школьников, которые подежурили хотя бы раз. Максимальное количество пар дежурств, которое один школьник может сделать, равно количеству дней минус один, то есть $11 - 1 = 10$ пар дежурств. Так как всего $12 - x$ школьников дежурили хотя бы раз, то максимальное количество пар дежурств на таких школьников составляет $(12 - x) \cdot 10$.

Но у нас всего $22$ пары дежурств. Таким образом, должно выполняться следующее неравенство:

$(12 - x) \cdot 10 \geq 22$

Решим это неравенство:

$120 - 10x \geq 22$

$-10x \geq -98$

$x \leq 9.8$

Поскольку количество школьников должно быть целым числом, то максимальное количество школьников, которые ни разу не подежурили, равно $9$.

Таким образом, наибольшее количество школьников, которые могли ни разу не подежурить за эту неделю, равно $9$.