Question

Знайти похідну функції 1)2х²/1-6х 2) sin x/x 3)x²-1/x²+1

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \Big(\dfrac{2x^2}{1-6x}\Big)'=\dfrac{4x(1-6x)-2x^2\cdot (-6)}{(1-6x)^2}=\dfrac{4x-12x^2}{(1-6x)^2}\\\\\\2)\ \ \Big(\dfrac{sinx}{x}\Big)'=\dfrac{x\cdot cosx-sinx}{x^2}\\\\\\3)\ \ \Big(x^2-\dfrac{1}{x^2+1}\Big)'=2x+\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\\\\\\\star \ \ \Big(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\Big)'=\dfrac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}\ \ \star$

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Звісно, я допоможу вам знайти похідні цих функцій.

1. $\frac{2x^2}{1 - 6x}$

Спершу виразимо цю функцію як $\frac{2x^2}{1 - 6x} = 2x^2 \cdot (1 - 6x)^{-1}$.

Використовуючи правило диференціювання степеневої функції $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, та правило лінійності похідної для добутку $(uv)' = u'v + uv'$, де $u = 2x^2$ та $v = (1 - 6x)^{-1}$, отримаємо:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{2x^2}{1 - 6x} \right) = 2x^2 \cdot \frac{d}{dx} \left( (1 - 6x)^{-1} \right) + (1 - 6x)^{-1} \cdot \frac{d}{dx} \left( 2x^2 \right)$$

$$= 2x^2 \cdot \frac{6}{(1 - 6x)^2} + \frac{2x^2}{1 - 6x} \cdot 2$$

$$= \frac{12x^2}{(1 - 6x)^2} + \frac{4x^2}{1 - 6x}$$

2. $\frac{\sin(x)}{x}$

Ця функція є добутком функцій $u(x) = \sin(x)$ та $v(x) = x^{-1}$. Використовуючи правило диференціювання добутку, маємо:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( \sin(x) \cdot x^{-1} \right) = \sin(x) \cdot \frac{d}{dx} \left( x^{-1} \right) + x^{-1} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sin(x) \right)$$

Застосовуючи правило диференціювання степеневої функції та похідної синуса, отримаємо:

$$= \sin(x) \cdot (-x^{-2}) + x^{-1} \cdot \cos(x) = \frac{\sin(x)}{x^2} - \frac{\cos(x)}{x}$$

3. $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$

Аналогічно, ця функція є дробовою функцією, тож ми можемо використати правило диференціювання дробових функцій:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right) = \frac{(x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 1) - (x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2}$$